Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat der Bauernturm, von links oben nach rechts unten zu gelangen?
Der Bauernturm
Beim gewöhnlichen Schachspiel gibt es sechs verschiedene Figuren, nämlich Bauer, Springer, Läufer, Turm, Dame und König. Diese unterscheiden sich unter anderem durch ihre jeweiligen Bewegungsmuster.
Wir erfinden eine neue Schachfigur, den sogenannten Bauernturm. Wie der Name bereits vermuten lässt, stellt er eine Kombination aus Bauer und Turm dar. Dementsprechend sieht auch sein Zugmuster aus:
Der Bauernturm kann sich horizontal und vertikal auf dem Schachbrett bewegen (wie der Turm), dabei aber pro Zug immer nur ein Feld zurücklegen (wie der Bauer in der Regel).
Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat der Bauernturm, (auf schnellstem Weg) vom Feld ganz oben links auf das Feld ganz unten rechts zu ziehen?
Lösung
Der Bauernturm hat insgesamt 3432 verschiedene Möglichkeiten, das rechte untere Feld innerhalb von 14 Zügen zu erreichen.
Für dieses Rätsel gibt es zwei Lösungsstrategien. Der erste Lösungsweg basiert auf elementaren Überlegungen, während der zweite Lösungsweg die Kombinatorik nutzt.
1. Lösungmöglichkeit (mit Hilfe elementarer Überlegungen)
Jedes Feld kann nur von links oder von oben erreicht werden, da sich der Bauernturm nur nach rechts oder nach unten bewegen kann, um sein Ziel schnellstmöglich zu erreichen.
Die Anzahl aller Möglichkeiten, auf ein bestimmtes Feld zu gelangen, entspricht also der Summe der Möglichkeiten, auf das links daran angrenzende und das oben daran angrenzende Feld zu gelangen.
Das entsprechend befüllte Feld sieht dann wie unten abgebildet aus. In jedes Feld trägt man die Summe der Zahlen aus dem Feld links und darüber ein.
Für das Feld ganz unten rechts ergeben sich dann 3432 Möglichkeiten, wie es vom Bauernturm erreicht werden kann.
2. Lösungsmöglichkeit (mit Hilfe der Kombinatorik)
Um schnellstmöglich unten rechts anzukommen, darf der Bauernturm nur nach rechts oder nach unten ziehen. Dabei muss er insgesamt siebenmal nach rechts und siebenmal nach unten ziehen. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle.
Die gesuchte Anzahl an Möglichkeiten dafür, bei insgesamt 14 Zügen genau 7-mal horizontal zu ziehen (und damit automatisch auch 7-mal vertikal), lässt sich mit dem Binomialkoeffizienten berechnen.
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