Jede Augensumme der beiden Würfel soll gleich wahrscheinlich werden
Die zwei Würfel
Dieses Rätsel soll unter anderem in Vorstellungsgesprächen für höhere Management-Positionen bei Amazon gestellt worden sein. Folgendermaßen haben die Personaler ihre Bwerber getestet:
Wir haben zwei Laplace-Würfel, das bedeutet, jede der jeweils sechs Seiten wird mit einer gleich hohen Wahrscheinlichkeit gewürfelt. Einer der beiden Würfel ist wie gewohnt mit den Augenzahlen 1 bis 6 beschriftet. Der andere Würfel ist noch nicht beschriftet.
Die Aufgabe besteht nun darin, den zweiten Würfel so mit Augenzahlen von 0 bis 6 zu versehen, dass alle möglichen Augensummen (1 bis 12) beider Würfel gleich wahrscheinlich sind, wenn sie gleichzeitig geworfen werden.
Alle Augenzahlen von 0 bis 6 dürfen dabei beliebig häufig verwendet werden.
Mit welchen Augenzahlen von 0 bis 6 muss der blanke Würfel beschriftet werden, dass alle Augensummen beim gleichzeitigen Werfen beider Würfel gleich wahrscheinlich sind?
Lösung
Drei Seiten des Würfel müssen blank bleiben (Augenzahl 0) und drei Seiten des Würfels müssen mit der Augenzahl 6 versehen werden.
Lösungsweg: Die Aufgabenstellung verlangt, dass alle Augensummen von 1 bis 12 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Insgesamt gibt es beim Werfen mit zwei (unterscheidbaren) Würfeln 6\cdot 6=36 verschiedene (aber gleich wahrscheinliche) Ausgänge, die jeweils auf eine der zwölf Augensummen führen.
Da wir 12 mögliche Augensummen haben, muss jede davon von jeweils genau 3 Konstellationen realisiert werden. Damit hätte jede Augensumme eine Wahrscheinlichkeit von \frac{3}{36}=\frac{1}{12}.
Dazu untersuchen wir die größte und die kleinste mögliche Augensumme.
Augensumme 1: Die Augensumme 1 erreichen wir als Summe nur über 1+0=1. Damit brauchen wir also bereits dreimal die Augenzahl 0.
Augensumme 12: Für die Augensumme 12 können wir analog zur Augensumme 1 argumentieren. Wir erreichen diese nur mit der Summe 6+6=12. Das heißt, wir müssen drei Seiten mit der Augenzahl 6 beschriften.
Damit ist der Würfel also bereits vollständig beschriftet. Wir überprüfen, ob tatsächlich alle Augensummen gleich wahrscheinlich sind.
Wir wir in dieser Tabelle sehen können, ist tatsächlich jede Augensumme von 1 bis 12 gleich wahrscheinlich, da jeweils genau 3 Wurfkombinationen dazu führen.
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