Euklid behauptet, es gebe unendlich viele Primzahlen
Kurze Wiederholung zu Primzahlen
Wie wohl hinlänglich bekannt sein dürfte, ist die Menge der Primzahlen \mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,\dots\} eine Teilmenge der natürlichen Zahlen \mathbb{N}.
Unter einer Primzahl versteht man nämlich eine natürliche Zahl, die genau zwei (verschiedene) Teiler besitzt. Sie lässt sich nur durch 1 und sich selbst teilen.
Beispiel:
• 13 ist eine Primzahl, da sie sich nur durch 13 und 1 teilen lässt.
• 8 ist keine Primzahl, da sie sich durch 8, 4, 2 und 1 teilen lässt.
Ein zentrales Resultat der Primzahltheorie ist der sogenannte Fundamentalsatz der Arithmetik. Jede gegebene natürliche Zahl n \geq 2 lässt sich auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Darstellung einer Zahl nennt man ihre (eindeutige) Primfaktorzerlegung.
Übrigens wäre es aus genau diesem Grund äußerst ungünstig, die Zahl 1 zu den Primzahlen zu zählen, da die Primfaktorzerlegung damit ihre Eindeutigkeit verlieren würde.
Die Unendlichkeit der Primzahlen
Man kann sich nun natürlich fragen, wie viele Primzahlen es denn überhaupt gibt. Tatsächlich wurde diese Frage bereits im 3. Jahrhundert v. Chr. vom griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria beantwortet.
Ihm zu Ehren nennt man sein Resultat heute den Satz von Euklid. Dieser besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Oder in seinen Worten:
“Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.”
Euklid
Zeige, dass es tatsächlich unendlich viele Primzahlen geben muss!
Beweis
Für diesen Satz gibt es mehrere Beweiswege aus den verschiedensten mathematischen Teildisziplinen. Wir orientieren uns hier am ältesten bekannten Beweis, nämlich dem von Euklid.
Anders als heute häufig behauptet, führte Euklid keinen reinen Widerspruchsbeweis.
Vielmehr war sein Beweis konstruktiv, d. h. er besteht aus einer Vorschrift, mit der man aus einer gegebenen Menge von Primzahlen immer noch eine weitere, neue Primzahl konstruieren kann.
Beweis von Euklid: Angenommen wir haben eine beliebige Menge M=\{p_1, p_2, \dots , p_n\} von n paarweise verschiedenen Primzahlen gegeben.
Ziel ist es nun, daraus eine weitere Primzahl p_{n+1} \notin M zu konstruieren, die noch nicht in M enthalten ist.
Dazu bildet Euklid zunächst das Produkt m = p_1\cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n aller Primzahlen aus M. Damit ist jede dieser Primzahlen ein Teiler der so entstandenen Zahl m.
Als nächstes betrachtet Euklid den Nachfolger dieser Zahl, also m+1.
Dabei können zwei Fälle auftreten:
Fall 1:m+1 ist eine Primzahl In diesem Fall ist nichts weiter zu tun, denn dann ist eine neue Primzahl p_{n+1} bereits gegeben durch m+1 .
Fall 2:m+1 ist keine Primzahl In diesem Fall muss die Zahl m+1 wegen des Fundamentalsatzes der Arithmetik eine Primzahl als Teiler haben. Nennen wir diesen Primteiler q.
Wir müssen nun noch zeigen, dass die Zahl q noch nicht in der ursprünglichen Menge M enthalten sein kann.
Angenommen q wäre bereits in M enthalten gewesen. Dann müsste q ein Teiler von m sein. Für ein a\in \mathbb{N} gilt also
\qquad q\cdot a =m
Gleichzeitig ist q aber auch ein Teiler von m+1. Also gilt für ein b\in \mathbb{N} damit
\qquad q\cdot b =m+1.
Subtrahieren wir die beiden Gleichungen voneinander, so erhalten wir
Damit wäre die Primzahl q also automatisch ein Teiler der Zahl 1. Da die Zahl 1 keinen Primteiler besitzen kann, ist dies ein Widerspruch und die Annahme, dass q bereits in der ursprünglichen Menge M enthalten gewesen ist, muss falsch gewesen sein.
Damit ist q \coloneqq p_{n+1} eine neue Primzahl.
Wendet man diese Vorschrift nun erneut an, so erhält man wieder eine neue Primzahl usw. Durch wiederholtes Anwenden lassen sich also unendlich viele Primzahlen erzeugen.
2 Antworten zu „Die Unendlichkeit der Primzahlen (****)“
Alexander
Könnte man es auch mit Logik lösen. Da es unendlich viele Zahlen gibt muss es unendlich viele Primzahlen geben, weil man jede Zahl aus Primzahlen bilden kann. Gäbe es nur endlich viele Primzahlen, gäbe es auch nur endlich viele Zahlen, weil eine endliche Anzahl an Primzahlen nicht ausreicht um unendlich viele Zahlen zu bilden
So einfach funktioniert es leider nicht. Dazu ein kurzes Gegenbeispiel: Es gibt unendlich viele Zweierpotenzen, nämlich 2, 4, 8, 16, 32, …
Aber es genügt eine einzige Primzahl (nämlich die 2), um diese unendlich vielen Zahlen zu “erzeugen”.
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