Fridolin und Albertine streiten sich darüber, wer heute den Müll rausbringen muss. Da sie sich nicht einigen können, schlägt Albertine ein Spiel vor. Der Verlierer soll den Müll nach draußen bringen.
Das Spiel, welches Albertine vorschlägt, heißt “100 Gewinnt” und funktioniert folgendermaßen:
• Das Spiel beginnt mit einem gemeinschaftlichen Spielwert von 0.
• Die beiden Spieler nennen abwechselnd eine Zahl von 1 bis 10, welche zum aktuellen Spielwert hinzuaddiert wird.
• Derjenige Spieler, der den Spielwert genau auf 100 bringt, gewinnt das Spiel.
Fridolin ist sich unschlüssig, ob er sich auf dieses Spiel einlassen soll, da er vermutet, dass Albertine eine Gewinnstrategie hat, die ihr den Sieg garantiert.
Gibt es für das Spiel “100 Gewinnt” eine Gewinnstrategie?
Lösung
Tatsächlich existiert eine Gewinnstrategie für das Spiel “100 Gewinnt”. Diese funktioniert wie folgt.
Die Gewinnstrategie (aus Sicht des beginnenden Spielers)
• Der beginnende Spieler (nennen wir ihn Spieler A) gewinnt das Spiel, indem er in der ersten Runde die Zahl 1 nennt, wodurch der Spielwert also auf 1 steigt.
• Nun wird Spieler B eine Zahl von 1 bis 10 nennen, wodurch der Spielwert auf eine Zahl von 2 bis 11 steigen wird.
• Spieler A muss darauf nun so reagieren, dass der Spielwert genau auf 12 steigt. Dies ist immer möglich. (Der Grund dafür ist an dieser Stelle noch nicht unbedingt erkennbar.)
• Spieler B wird den Spielwert nun auf eine Zahl von 13 bis 22 steigern.
• Spieler A reagiert darauf so, dass der Spielwert auf 23 steigt.
• Spieler B erhöht den Spielwert auf eine Zahl von 24 bis 33.
• Spieler A setzt den Spielwert durch die entsprechende Antwort auf 34.
usw.
Insgesamt muss sich Spieler A vom Spielwert 1 aus in 11er-Schritten nach oben arbeiten, indem er auf eine Zahl n von Spieler B mit der Zahl 11-n reagiert.
Damit ist garantiert, dass alle 11er-Stufen abgearbeitet werden, d. h. konkret bringt Spieler A den Spielwert nacheinander auf 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89 und schließlich auf 100.
Warum funktioniert diese Strategie?
Um zu verstehen, wie diese Strategie funktioniert, bietet es sich an, sich vom Spielwert 100 nach unten zu arbeiten.
Wenn man selbst einen Spielwert 90 bis 99 hinterlässt, verliert man, weil der andere Spieler von dort aus sofort die 100 erreichen kann.
Umgekehrt bedeutet es aber auch, dass man garantiert gewinnen kann, wenn man den Spielwert bei 89 belässt, da der andere Spieler dann gezwungen ist, den Spielwert auf eine Zahl von 90 bis 99 zu bringen
Mit der gleichen Logik garantiert es also auch einen Gewinn, wenn man selbst den Spielwert auf 78 bringt, da man ihn dann in der nächsten Runde (egal, was der Gegner macht) immer auch auf 89 bringen kann.
Arbeitet man sich also in diesen erzwingbaren 11er-Schritten von 100 an abwärts, ergeben sich die sicheren Häfen 100, 89, 78, 67, 56, 45, 34, 23, 12 und 1.
Das sind also alle natürlichen Zahlen bis 100 der Form 100-k\cdot11 bzw. 1+k\cdot11.
Sobald ein Spieler auf einen dieser Werte kommen kann (und diese Strategie kennt), kann er das Spiel garantiert gewinnen.
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