100 Glühbirnen: Wie viele werden am Ende leuchten?
100 Glühbirnen
In einem Raum befinden sich 100 Glühbirnen, die zu Beginn allesamt ausgeschaltet sind. Die Glühbirnen sind von 1 bis 100 durchnummeriert.
Nun betreten nacheinander 100 Personen den Raum.
Die erste Person betätigt den Ein-Aus-Schalter aller Glühbirnen einmal, deren Nummer ein Vielfaches der Zahl 1 ist.
Die zweite Person betätigt den Schalter aller Glühbirnen einmal, deren Nummer ein Vielfaches der Zahl 2 ist.
Die dritte Person verfährt analog und betätigt den Schalter aller Glühbirnen, deren Nummer ein Vielfaches der Zahl 3 ist.
…
Die hundertste Person betätigt die Schalter aller Glühbirnen einmal, deren Nummer ein Vielfaches der Zahl 100 ist.
Wie viele der 100 Glühbirnen leuchten, nachdem die 100. Person den Raum verlassen hat?
Hinweis
Überlege dir, was mit den ersten 10 Glühbirnen geschieht und versuche, ein Muster zu entdecken.
Lösung
Nachdem die 100. Person den Raum verlassen hat, leuchten 10 Glühbirnen.
Die 10 Glühbirnen, welche am Ende leuchten, haben die Nummern 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100. Offenbar leuchten also genau diejenigen Lämpchen, deren Nummer eine Quadratzahl ist. Aber warum?
Lösungsweg: Eine Person betätigt immer genau diejenigen Schalter einmal, deren zugehörige Nummer ein Vielfaches der “Personennummer” ist.
Umgekehrt ausgedrückt bedeutet das, dass der Schalter einer Glühbirne genau von denjenigen Personen betätigt wird, deren Personennummer die Nummer auf der Glühbirne teilt.
Beispiel: Glühbirne Nr. 15 wird von den Personen 1, 3, 5 und 15 betätigt, weil 15 ein Vielfaches von 1, 3, 5 und 15 ist, bzw. weil sich 15 durch 1, 3, 5 und 15 teilen lässt. Denn:
1 \cdot 15 = 15 3 \cdot 5 = 15
Wir stellen fest, dass die Zahl 15 insgesamt 4 verschiedene Teiler besitzt. Also wird auch ihr Schalter von 4 verschiedenen Personen betätigt. Damit ist die Glühbirne am Ende also wieder ausgeschaltet.
Weitere Beispiele (gemäß Hinweis): Die Glühbirnen 1 bis 10 liefern folgende Resultate:
Solange eine Glühbirne eine Nummer mit einer geraden Anzahl an Teilern hat, ist sie am Ende wieder ausgeschaltet.
Zu jedem Teiler einer Zahl gehört ein weiterer “Teilerpartner”, der im häufigsten Fall unterschiedlich ist:
Beispiel Glühbirne Nr. 15: 1 \cdot 15 = 15 3 \cdot 5 = 15
Hier sind 3 und 5 sowie 1 und 15 “Teilerpartner” der 15.
Wann leuchtet eine Glühbirne am Ende?
Wir suchen also diejenigen Glühbirnen, deren Nummer eine ungerade Anzahl an verschiedenen Teilern hat, da ihr Schalter dann von einer ungeraden Anzahl an Personen (jeweils einmal) betätigt wird.
Dazu müssen aber zwei Teilerpartner identisch sein, damit sie sich beim Ein-und Ausschalten nicht gegenseitig aufheben.
Diejenigen Zahlen, die zweimal denselben Teiler haben, sind aber genau die Quadratzahlen!
Beispiel Glühbirne Nr. 16: 1 \cdot 16 = 16 2 \cdot 8 = 16 4 \cdot 4 = 16
Hier heben sich zwar die “Teilerpartner” 1 und 16 sowie 2 und 8 beim Ein- und Ausschalten wieder auf. Aber zu den beiden Teilern 4 und 4 gehört nur eine einzige Person, die den Schalter somit auch nur einmal betätigt.
Insgesamt wurde der Schalter also 5-mal betätigt und die Glühbirne leuchtet damit am Ende.
Bei allen übrigen Quadratzahlen entsteht ganz genauso eine ungerade Anzahl an verschiedenen Teilern, womit die entsprechenden Glühbirnen am Ende leuchten.
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