Nahezu jeder Mensch hat in seinem Leben schon einmal mit Karten gespielt. Ein typisches Spielkartendeck besteht aus 52 Karten mit vier verschiedene Farbsymbolen – Herz, Karo, Pik und Kreuz – und bietet schier endlose Unterhaltungsmöglichkeiten.
Hier soll es diesmal jedoch ausnahmsweise nicht um das eigentliche Spielen mit diesen Karten gehen.
Der Kartenstapel
Nehmen wir der Einfachheit halber einmal an, dass eine solche Karte 1 \text{ mm} dick ist.
Wir nehmen uns eine dieser Karten zur Hand, beispielsweise das Kreuz-Ass, und zerschneiden es in der Mitte. Die beiden Kartenstücke legen wir dann aufeinander.
Der aus den beiden Hälften entstehende “Stapel” ist damit natürlich 2 \text{ mm} hoch.
Wir zerschneiden diesen Stapel nun wieder und stapeln die vier resultierenden Kartenstücke aufeinander.
Usw.
Das Ganze machen wir insgesamt, sagen wir, 52 Mal und betrachten die Höhe des so entstandenen Stapels aus Kartenstücken.
Ist der nach 52 Schnitten resultierende Kartenstapel höher oder niedriger als einen Meter?
Falls du nicht explizit rechnest, lege dich auf eine Schätzung fest, bevor du die Lösung ansiehst!
Lösung
Der nach 52 Schnitten entstehende Kartenstapel wäre etwa 4,5 Milliarden Kilometer hoch und damit also etwas höher als einen Meter.
Falls du nicht gerechnet, sondern nur geschätzt hast, wirst du dich möglicherweise vom Ankerpunkt “1 Meter” beeinflusst lassen haben und einen relativ niedrigen Wert angegeben haben.
Sehen wir uns einmal an, wie man zu dieser Lösung gelangt.
Lösungsweg: Wir beginnen mit einer Starthöhe von 1 \text{ mm} bei einer Karte (und damit 0 Schnitten).
Nach dem ersten Schritt verdoppelt sich die Anzahl der Kartenstücke und damit auch die Höhe des Stapels auf 2 \text{ mm}.
Mit dem zweiten Schnitt findet erneut eine Verdopplung der Anzahl an Kartenstücken und damit auch der Höhe auf 4 \text{ mm} statt.
Das heißt, dass die Anfangshöhe durch n Schnitte also n-mal verdoppelt wurde! Anders ausgedrückt beträgt die Höhe h_n nach n Schnitten
d. h. tatsächlich unfassbare 4,5 Milliarden Kilometer.
Zur Einordnung: Die Höhe dieses Kartenstapels ist etwa 30-mal so groß wie der durchschnittliche Abstand von Erde und Sonne (etwa 150 Millionen Kilometer).
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