In einem malerischen Küstendorf stand ein stolzer Leuchtturm, der die Seefahrer seit jeher sicher durch Sturm und Dunkelheit führte.
Doch in einer besonders klaren Nacht beobachtete der Leuchtturmwärter, ein erfahrener Seemann namens Erik, am Horizont ein Handelsschiff in schwerer Seenot. Es kämpfte vergeblich gegen die heftigen Wellen an und sank schließlich.
Erik war schockiert, denn anhand der Beflaggung erkannte er sofort, dass auf diesem Handelsschiff wertvolle Schätze mitgeführt werden mussten. Er beschloss, sich mit seinem kleinen Fischerboot auf die Suche nach dem Wrack zu machen und den Schatz zu bergen, sobald es der Wellengang wieder zulassen würde.
Am nächsten Morgen, als sich der Wellengang gelegt hatte und das Meer wieder spiegelglatt erschien, machte sich Erik entschlossen daran, einen Plan zu schmieden.
Um möglichst effizient zu suchen, musste er wissen, in welchem Bereich er das Meer überhaupt absuchen sollte. Er wusste, dass er den Vorfall aus einer Höhe von 30 Metern über dem Meeresspiegel am Horizont beobachtet hatte.
Wie weit (Luftlinie) kann Erik vom 30Meter hohen Leuchtturm maximal gesehen haben?
(Der Erdradius beträgt 6371 Kilometer.)
Hinweis
Betrachte die folgende Skizze.
Lösung
Erik sollte in einem Abstand von etwa 20 \text{ km}suchen.
Lösungsweg: Für die Berechnung der Sichtweite bietet es sich an, zunächst eine Skizze des Sachverhaltes anzufertigen. Wir betrachten also die folgende Skizze:
Wir erkennen ein rechtwinkliges Dreieck, das den Erdmittelpunkt mit Eriks Beobachtungsposition auf dem Leuchtturm und der Unglücksstelle des Schiffes verbindet.
Gesucht ist die Sichtweite d.
Gegeben sind die Länge der zweiten Kathete r sowie der Hypotenuse r+h, die sich als Summe aus Erdradius und Höhe des Leuchtturms ergibt.
Mit dem Satz des Pythagoras (a^2+b^2=c^2) ergibt sich also
\begin{aligned}
d^2 + r^2 &=(r+h)^2 && \\
d^2 + r^2 &= r^2 + 2\cdot r \cdot h + h^2 \quad &&|-r^2 \\
d^2 &=2\cdot r \cdot h + h^2 &&|\sqrt{\square} \\
d &= \sqrt{2\cdot r \cdot h + h^2} && \\
&=\sqrt{2 \cdot 6371000 \text{ m}\cdot 30 \text{ m}+(30 \text{ m})^2} &&\\
&\approx 19550 \text{ m}.
\end{aligned}
Die Sichtweite beträgt also (im Rahmen der Genauigkeit) knapp 20 \text{ km}.
Da Erik das Schiff am Horizont beobachtet hat, sollte er auch in etwa dieser Entfernung nach dem Wrack suchen.
Wie erfreulich, dass Erik mit einem einfachen Pythagoras-Trick die Welt retten kann! Wer braucht schon Satelliten oder GPS, wenn man nur einen 30-Meter-Leuchtturm und ein bisschen Mathematik zur Hand hat? Manchmal erinnert mich das an meine eigenen Suchaktionen nach dem verlorenen Schlüssel – da wäre auch eine Skizze mit Erdmittelpunkt und Hypotenuse nicht schaden gefangen. Der Witz liegt darin, wie ernst die Berechnung ist, aber die Lösung so praktisch wirkt – fast wie wenn man sagt: Die Sonne ist hell, weil sie da ist. Einfach und erstaunlich zugleich!
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