Es bleiben insgesamt 9701 verschiedene Möglichkeiten für einen vierziffrigen Entsperrcode übrig, bei welchen die Ziffer “1” nicht unmittelbar vor der Ziffer “3” stehen darf.


Zunächst stellen wir fest, dass die Anzahl aller PIN-Codes mit “13” plus die Anzahl aller PIN-Codes ohne “13” zusammen die Anzahl aller möglichen PIN-Codes ergibt.


Anzahl aller möglichen Codes:
Da es sich um einen vierziffrigen Code handelt und für jede der vier Stellen jeweils zehn Optionen zur Verfügung stehen, gibt es insgesamt 10^4=10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10.000 denkbare Kombinationen.


Anzahl aller Codes mit “13”:
Weil die Zahl “13” zwei Stellen Platz beansprucht, kann sie in einem vierstelligen Code an drei Positionen vorkommen, nämlich:
(a) [1 3 * *]
(b) [* 1 3 *]
(c) [* * 1 3]

Wir überlegen uns nun, wie viele Optionen man für die Fälle (a), (b) und (c) jeweils hat. In allen drei Fällen gibt es zunächst keine weiteren Restriktionen, d. h. für jedes Sternchen kann frei aus allen zehn Ziffern gewählt werden. Damit ergeben sich für die Fälle (a), (b) und (c) jeweils 10^2=10 \cdot 10 = 100 Möglichkeiten.

Aber Achtung:
Der Code [1 3 1 3] würde damit doppelt gezählt werden, da er sowohl in Fall (a) als auch in Fall (c) enthalten ist.

Insgesamt gibt es somit also 100 + 100 + 100 \,-\, 1=299 Kombinationen, welche die Ziffernfolge “13” enthalten.


Anzahl aller Codes ohne “13”:
Die Anzahl aller Codes ohne die Ziffernfolge “13” erhält man nun als Differenz der beiden oben berechneten Anzahlen.

Ziehen wir von der Anzahl aller möglichen Kombinationen die Anzahl der Code mit der Ziffernfolge “13” ab, so erhalten wir
\quad 10.000\, -\, 299 = 9.701
Möglichkeiten, aus denen Patricia ihre neue PIN wählen kann.