Gegeben ist ein Quadrat, dessen Diagonale zweimal rechtwinklig abgeknickt ist. Wie auf dem obigen Bild dargestellt, hat die “Diagonale” vor dem Knick die Länge 4 und nach dem Knick die Länge 3. Die beiden Knickstellen haben einen Abstand von 1 zueinander.
Welche Seitenlänge hat das abgebildete Quadrat?
Lösung
Das abgebildete Quadrat hat eine Seitenlänge von a=5 Längeneinheiten.
Um die Seitenlänge a des Quadrates zu ermitteln, benötigen wir den Satz des Pythagoras sowie ein noch nicht eingezeichnetes Hilfsdreieck.
Dieses Hilfsdreieck dient dazu, die Länge der eigentlichen Diagonale d des Quadrates zu berechnen. Das Hilfsdreieck ist unten in rot abgebildet.
Da es sich beim Hilfsdreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, können wir den Satz des Pythagoras (a^2+b^2=c^2) anwenden. Die Katheten haben die Längen 4+3=7 sowie 1.
Damit berechnen wir die Länge der Diagonale d als Hypotenuse des Hilfsdreiecks. Es ist
d^2 = 7^2+1^2 = 49 + 1 = 50 .
Natürlich bildet die Diagonale ein weiteres rechtwinkliges Dreieck mit zwei der Quadratseiten. Damit können wir den Satz des Pythagoras erneut anwenden. Dann ergibt sich
d^2=a^2+a^2 .
Verbinden wir beide Gleichungen, können wir nach der Seitenlänge a auflösen und erhalten
\begin{aligned}
2a^2&=d^2=50 \\
a^2 &= 25\\
a &= 5.
\end{aligned}
.
Damit beträgt die Seitenlänge des abgebildeten Quadrates tatsächlich 5 Längeneinheiten.
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