Unsere Alltagserfahrung sagt uns, dass Achilles das Rennen gegen die Schildkröte gewinnen kann und das kann er auch tatsächlich. Aber wo liegt dann der Fehler in Zenons Überlegung?

Wo liegt der Denkfehler?

Die Schildkröte wird im Laufe des Rennens tatsächlich unendlich oft einen Vorsprung herauslaufen. Daraus kann man allerdings nicht schließen, dass die Summe dieser unendlich vielen Vorsprünge auch unendlich lang ist!

Gehen wir der Einfachheit halber einmal davon aus, dass Achilles doppelt so schnell wäre wie die Schildkröte. Außerdem gibt Achilles ihr den Vorsprung s_0 .

In der Zeit, in der Achilles diesen Anfangsvorsprung s_0 zurücklegt, ist die Schildkröte noch einmal die Hälfte des Anfangsvorsprungs, also \frac{s_0}{2} weiter gekommen, da sie ja genau halb so schnell läuft wie Achilles.

In der Zeit, in der Achilles den neuen Vorsprung \frac{s_0}{2} weitergelaufen ist, hat die Schildkröte nun wieder die Hälfte davon zurückgelegt, also \frac{s_0}{4} .

Das Ganze wiederholt sich nun tatsächlich unendlich oft.

Zählt man alle Vorsprünge zusammen, welche die Schildkröte über das ganze Rennen hat, erhalten wir

\begin{aligned} s_{ges} &= s_0 + \frac{s_0}{2} + \frac{s_0}{4} + \frac{s_0}{8} + \dots \\ &= s_0\cdot \left(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right). \end{aligned}

Wir müssen uns also überlegen, was 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots ergibt.

Dafür überlegen wir uns einfach, wie viele Pizzakartons wir für \left(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right) Pizzen benötigen würden.

Ein erster Pizzakarton wird natürlich sofort durch die 1 gefüllt. Wir beginnen also den zweiten Karton mit einer halben Pizza ( \frac{1}{2} ). Da der zweite Karton noch halb frei ist, passt auch die Viertelpizza ( \frac{1}{4} ) noch hinein. Jetzt ist also noch ein Viertel des zweiten Kartons frei, sodass wir auch die Achtelpizza ( \frac{1}{8} ) noch unterbekommen usw.

Selbst wenn wir unendlich vielen Pizzastücke haben, passen diese in zwei Pizzakartons! Es gilt:

1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 2

Der Gesamtvorsprung der Schildkröte den die Schildkröte im gesamten Rennen bekommt, ist 2 \cdot s_0 , also das doppelte des Anfangsvorsprungs. Nach dieser Strecke wird sie vom doppelt so schnellen Achilles überholt.


Bemerkung:

Ist Achilles nun allgemein q-mal so schnell wie die Schildkröte, so ergibt sich der Gesamtvorsprung

\frac{s_0}{1-q}.

Um das zu sehen, benötigt man den Grenzwert der geometrischen Reihe

1+ \frac{1}{q^1} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q^3} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{q^k}=\frac{1}{1-q}.