Frohes Neues Jahr
Wieder einmal neigt sich ein Jahr seinem Ende entgegen. Das feiern die Menschen in der Regel in geselligen Runden. Teste deine Runde doch einmal mit folgendem kurzen Silvesterrätsel:
Wie lautet die letzte Ziffer von 2023^{2024}?
Ein gewöhnlicher (Handy-)Taschenrechner wird hierbei nicht sonderlich helfen!
Hinweis
Die letzte Ziffer eines Produkts ist die letzte Ziffer des Produkts der Einerstellen seiner Faktoren.
Das klingt auf den ersten Blick vielleicht etwas kompliziert, wird an einem Beispiel jedoch schnell klar.
Beispiel:
21\textcolor{red}{6} \cdot 7\textcolor{red}{3}
Wegen \textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{red}{3} = 1\textcolor{blue}{8} ist (mit der letzten Ziffer \textcolor{blue}{8}),
ist auch die letzte Ziffer von 21\textcolor{red}{6} \cdot 7\textcolor{red}{3} eine \textcolor{blue}{8}.
Tatsächlich: 21\textcolor{red}{6} \cdot 7\textcolor{red}{3} = 15.76\textcolor{blue}{8}
Das klingt auf den ersten Blick vielleicht etwas kompliziert, wird an einem Beispiel jedoch schnell klar.
Beispiel:
21\textcolor{red}{6} \cdot 7\textcolor{red}{3}
Wegen \textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{red}{3} = 1\textcolor{blue}{8} ist (mit der letzten Ziffer \textcolor{blue}{8}),
ist auch die letzte Ziffer von 21\textcolor{red}{6} \cdot 7\textcolor{red}{3} eine \textcolor{blue}{8}.
Tatsächlich: 21\textcolor{red}{6} \cdot 7\textcolor{red}{3} = 15.76\textcolor{blue}{8}
Lösung
Die letzte Ziffer von 2023^{2024} ist eine 1.
Das Ergebnis von 2023^{2024} ist eine 6692-stellige Zahl! Daher scheitern gewöhnliche Taschenrechner an dieser Aufgabe.
Wir sehen uns an, wie man die letzte Ziffer dieser Zahl auch ganz ohne Taschenrechner erhalten kann!
Lösungsweg:
Dazu benötigen wir eine bestimmte Tatsache (siehe Hinweis):
Die letzte Ziffer eines Produkts ist die letzte Ziffer des Produkts der Einerstellen seiner Faktoren.
Wir interessieren uns für die letzte Stelle von
\quad 2023^{2024} = \underbrace{202\textcolor{red}{3}\cdot 202\textcolor{red}{3} \cdot 202\textcolor{red}{3} \cdot … \cdot 202\textcolor{red}{3}}_{2024-\text{mal}}.
Damit ist die letzte Stelle dieses Produkts die gleiche wie die letzte Stelle von
\quad \underbrace{\textcolor{red}{3}\cdot \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot … \cdot \textcolor{red}{3}}_{2024-\text{mal}}.
Damit wir diese (immer noch riesige) Zahl nicht komplett berechnen müssen, versuchen wir, eine Systematik zu finden. Dazu berechnen wir die ersten paar Potenzen von \textcolor{red}{3}:
\quad \begin{array}{c|c|c} \text{Potenz} & \text{Ergebnis} & \text{Letzte Ziffer} \\ \hline \textcolor{red}{3}^1 & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{3}\\ \textcolor{red}{3}^2 & \textcolor{blue}{9} & \textcolor{blue}{9}\\ \textcolor{red}{3}^3 & 2\textcolor{blue}{7} & \textcolor{blue}{7}\\ \textcolor{red}{3}^4 & 8\textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{1}\\ \textcolor{red}{3}^5 & 24\textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{3} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \end {array}
Ab diesem Punkt müssen sich die letzten Ziffern wiederholen! Die vier Endziffern \textcolor{blue}{3}, \textcolor{blue}{9}, \textcolor{blue}{7}, \textcolor{blue}{1} wechseln sich in dieser Reihenfolge bei allen höheren Potenzen ab!
Wie müssen also nur noch herausfinden, bei welcher dieser vier Endziffern wir bei 2023^{2024} sind.
Da 2024 genau durch 4 teilbar ist, muss die letzte Ziffer eine \textcolor{blue}{1} sein.
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