Ayla und Ben bestellen jeden Freitagabend gemeinsam Pizza. Da sie glücklicherweise denselben Geschmack teilen, können sie immer ein wenig Geld sparen, indem sie zusammen eine große Familienpizza bestellen. Da die beiden so gerne Champignons essen, bestellen sie am liebsten Pizza Funghi.
Doch jedes Mal, wenn die Pizza am Freitagabend geliefert wird, entbrennt zwischen den beiden ein kleiner Streit: Beide wollen selbstverständlich jeweils die Hälfte der Pizza, aber natürlich darf der andere dabei nicht ein winziges bisschen mehr Champignons haben als man selbst.
Daher fragen sich die beiden, ob es unabhängig davon, wie die Pilze verteilt sind immer möglich ist, die Pizza mit nur einem einzigen geraden Schnitt so zu teilen, dass zwei Pizzahälften entstehen, von denen auch noch jede genau die Hälfte der Pilze enthält.
Achtung: Die Pizza muss nicht unbedingt perfekt rund sein!
Lösung
Es ist in der Tat immer möglich, die Pizza mit einem einzigen geraden Schnitt so zu halbieren, dass beide Hälften die exakt gleiche Menge an Champignons enthalten.
Für den Beweis stellen wir uns als erstes einen vertikalen Schnitt durch die Pizza vor, der diese genau halbiert. Dass ein solcher vertikaler Schnitt existiert, folgt direkt aus dem sogenannten Zwischenwertsatz, denn:
Wenn wir das Messer immer vertikal halten und von links nach rechts wandern, haben wir anfangs links vom Messer weniger (< 50%) Pizza als rechts. Irgendwann stellen wir aber fest, dass wir links mehr (> 50%) Pizza haben als rechts. Also muss auch der Zwischenwert von genau 50% (grün) irgendwo auf dem Weg angenommen worden sein.
Wie auf dem Bild allerdings bereits zu erkennen ist, haben wir damit noch nicht automatisch auch die Champignons gerecht verteilt. Dafür müssen wir den Zwischenwertsatz erneut geschickt anwenden.
Dazu drehen wir die Pizza also nach und nach um insgesamt 180°, also genau eine halbe Umdrehung.
Egal wie die Pizza zwischendurch gedreht war, wie wir oben gesehen haben, finden wir immer einen vertikalen Schnitt, der die Pizza halbiert. Dabei merken wir uns jetzt zu jeder Gradzahl welcher Anteil an Champignons sich jeweils links und rechts vom Schnitt befindet.
In diesem Beispiel seien z.B. bei einer Drehung von 0° ca. 40% links und 60% rechts des Schnittes. Bei einer Drehung von 180° müssen links und rechts aber genau getauscht worden sein! Wir haben am Ende also 60% der Champignons links und 40% rechts des Schnittes.
Da diese Funktionen stetig (“ohne Sprünge”) sind, müssen sie sich irgendwann zwischen 0° und 180° schneiden. Bei diesem Winkel sind die 100 % Champignons genau 50/50 zwischen der linken und rechten Hälfte des Messers aufgeteilt.
Das heißt, dass sich Ayla und Ben tatsächlich sicher sein können, dass es unabhängig von der Form der Pizza und der Verteilung der Champignons immer eine faire Teilung gibt! Wo dieser Punkt genau liegt, kann ihnen der Zwischenwertsatz jedoch leider nicht sagen.
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