Am Ende ist 1/3 der Fläche des ursprünglichen Quadrates dunkel eingefärbt.


Es gibt zwei verschiedene Wege, auf diese Lösung zu kommen.


1. Lösungsweg: Graphisch

Auch wenn graphische Beweise im Allgemeinen mit Vorsicht zu genießen sind, ist dies hier ein legitimer Weg. Um zu sehen, dass der dunkle Anteil 1/3 der Gesamtfläche beträgt, neigt man den Kopf am besten etwas nach rechts.

Man betrachtet nun jeweils drei Quadrate: Oben links (hell), unten links (dunkel) und unten rechts (hell).
Der dunkle Anteil dieser drei Quadrate ist natürlich genau ein Drittel, da eines von drei gleich großen Quadraten dunkel ist.

Das Quadrat oben rechts ist wiederum in vier kleinere Quadrate zerlegt. Auch hier betrachtet man zunächst die drei kleineren Quadrate oben links (hell), unten links (dunkel) und unten rechts (hell). Auch hier ist der Anteil der dunklen Fläche 1/3.

Das Quadrat oben rechts wird in noch kleinere Quadrate zerlegt usw.

Diese Argumentation lässt sich beliebig fortsetzen.


Man betrachtet also geschickt gewählte Teilbereiche (jeweils drei Quadrate einer Größe), bei denen der dunkle Anteil (prozentual) immer gleich groß ist. Da diese Teilbereiche zusammen wieder das ursprüngliche Quadrat bilden, ist auch dessen dunkler Flächenanteil 1/3.


2. Lösungsweg: Rechnerisch
(Nur für Fortgeschrittene)

Der dunkel eingefärbte Anteil A des gesamten Quadrates ist ein Viertel plus ein Viertel eines Viertels plus ein Viertel eines Viertels eines Viertels usw., also

A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{4} \right)^n .

Dies entspricht (bis auf einen fehlenden Summanden) einer geometrischen Reihe

\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \text{ where } q \in (0, 1) .

Damit ergibt sich mit q = \frac{1}{4} und Korrektur des fehlenden Summanden also der dunkle Anteil

A = \left( \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{4} \right) ^n \right) -1 = \frac{1}{1-\frac{1}{4}}-1 = \frac{1}{\frac{3}{4}}-1 = \frac{4}{3}-1 = \frac{1}{3}.