Das Rätsel des Fadens, der um einen Zylinder gewickelt ist, hat schon manch gestandenen Mathematiker in Verlegenheit gebracht. Folgendermaßen lautet es.
Wie lang ist der Faden um den Zylinder?
Ein Faden ist genau viermal um einen Zylinder gewickelt. Der Faden windet sich dabei von einem Ende des Zylinders zum anderen. Der umwickelte Zylinder ist 12 Zentimeter lang und hat einen Umfang von 4 Zentimetern.
Wie lang ist der Faden, der um den Zylinder gewickelt wurde?
Lösung
Der Faden hat eine Länge von 20 Zentimetern.
Diese Lösung ist auf den ersten Blick eventuell nicht ganz offensichtlich. Hat man die Lösungsstrategie jedoch einmal gesehen, sind die Rechnung und das Ergebnis leicht nachzuvollziehen.
Lösungsweg
1.Schritt: Aufschneiden
Wir schneiden den Zylinder gedanklich auf einer Seite auf, sodass wir seine Oberfläche zu einem Rechteck aufrollen können. Dabei schneiden wir am geschicktesten entlang der unten eingezeichneten roten Linie, die den Start- und Endpunkt des Fadens geradlinig verbindet.
Das so entstehende Rechteck sieht dann wie unten abgebildet aus.
Die beim Rechteck eingetragenen Maße ergeben sich aus den in der Aufgabenstellung vorgegebenen Zylinderabmessungen:
Der Umfang des Zylinders wird zur Höhe des Rechtecks und die Länge des Zylinders zur Breite des Rechtecks.
2. Schritt: Berechnen
Es ist nun nicht schwer zu erkennen, dass wir nur noch vier gleich lange Strecken addieren müssen, um die Gesamtlänge des Fadens zu erhalten. Die (viermal) gesuchte Länge ist dabei jeweils die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die beiden zugehörigen Kathetenlängen ergeben sich wie folgt:
Die Höhe des Dreiecks entspricht genau dem Umfang des Zylinders, also 4 Zentimeter.
Die Länge der Grundseite beträgt ein Viertel der Zylinderlänge, da die Schnur viermal um den Zylinder gewickelt wurde. Sie ist damit 3 Zentimeter lang.
Anwenden des Satzes von Pythagoras a^2+b^2=c^2 im gefundenen rechtwinkligen Dreieck liefert uns also
c^2=3^2+4^2=9+16=25 .
Damit ist die gesuchte Länge der Schnur genau c=\sqrt{25}=5 (Zentimeter).
Das Vierfache davon ist dann die gesuchte Fadenlänge. Der Faden ist also 20 Zentimeter lang.
Alternativer Lösungsweg:
Wir heften das linke Fadenende auf einer Unterlage an und wickeln dann den Faden auf die Unterlage ab indem wir den Zylinder mit vier Umdrehungen nach unten rollen. Danach beschreibt der Faden die Diagonale eines Rechtecks mit einer Höhe von 16cm (4 x 4cm Zylinderumfang) und einer Breite von 12cm (Zylinderlänge). Pythagoras ergibt Höhe^2 (256) + Breite^2 (144) = Fadenlänge^2 = 256+144 = 400. Fadenlänge also (Wurzel 400) = 20.
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