Juwelier Schimmer hat ein schwerwiegendes Luxusproblem. Er hat 27 komplett identisch aussehende Perlen, aus denen er eine Halskette fertigen möchte. Er weiß jedoch, dass genau eine von diesen 27 Perlen falsch ist.
Außerdem weiß er aus Erfahrung, dass eine falsche Perle immer ein bisschen schwerer ist als eine echte. Leider hat Juwelier Schimmer aus Traditionsgründen nur eine Schalenwaage. Gewichte dazu besitzt er nicht.
Wie oft muss Juwelier Schimmer mindestens wiegen, um herauszufinden, welche der 27 Perlen die falsche ist?
Lösung
Juwelier Schimmer muss genau dreimal wiegen, um die falsche Perle zu identifizieren. Wie muss er dabei vorgehen, um sicherzustellen, dass er tatsächlich bloß dreimal wiegen muss?
Zunächst teilt Juwelier Schimmer die 27 Perlen in drei gleich große Gruppen auf. Jede dieser Gruppen besteht also aus 9 Perlen. Dann sucht er sich zwei (beliebige) dieser Gruppen aus und wiegt diese gegeneinander.
Ist eine dieser beiden 9er-Gruppen schwerer als die andere, so weiß er automatisch, dass die falsche Perle in der schwereren Gruppe gewesen sein muss. Für den Fall, dass beide 9er-Gruppen gleich schwer sind, muss sich die Perle in derjenigen Gruppe befinden, die noch nicht gewogen wurde.
Jetzt weiß Juwelier Schimmer also bereits sicher, in welcher 9er-Gruppe sich die falsche Perle befindet. Diese 9 Perlen teilt er nun wiederum in drei gleichgroße Gruppen zu jeweils 3 Perlen auf.
Wie im ersten Schritt wiegt er wieder zwei dieser drei Gruppen gegeneinander. Analog zum ersten Schritt weiß Juwelier Schimmer nach dem zweiten Wiegen also sicher, in welcher 3er-Gruppe sich die falsche Perle befindet: Ist eine der beiden 3er-Gruppen schwerer, dann befindet sich darin die falsche Perle. Sind beide gleich schwer, dann befindet sich die Fälschung in der nicht gewogenen 3er-Gruppe.
Zum Schluss wiegt er 2 der übrigen 3 Perlen gegeneinander. Ist eine Perle auf der Waage schwerer als die andere, so ist die schwerere Perle als Fälschung entlarvt. Sollte die Waage im Gleichgewicht bleiben, so ist die übrige, nicht gewogene Perle die Fälschung.
Wenn man jedes Wort der Fragestellung auf die Gold… äh Perlenwaage legt müsste die korrekte Antwort 1 lauten. Denn wenn Schimmer sich entscheidet bei der ersten Wägung eine Perle beiseite zu legen und die übrigen 13:13 gegeneinander zu wiegen. Falls er dabei nämlich die falsche Perle beiseite gelegt hat (1/27 Wahrscheinlichkeit) wird die Waage sich zu keiner Seite neigen. Die korrekte Frage müsste deshalb sein “Wie oft muss Juwelier Schimmer mindestens wiegen, um /sicher/ herauszufinden, welche der 27 Perlen die falsche ist?” bzw. “… um die falsche Perle sicher zu finden”.
Bei der vorgeschlagenen Methode (1 beiseite, Rest halbieren) findet er die falsche Perle mit 1/9 Wahrscheinlichkeit spätestens mit der zweiten Wägung, aber in 8/9 der Fälle erst mit der vierten.
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