Im Königreich Yakira herrscht Hungersnot, da eine Dürrewelle in einem besonders heißen Jahr die gesamte Getreideernte vernichtet hat.
Um sein Volk zu unterstützen, beschließt der König eine Solidaritätsabgabe. Jeder Einwohner, der Fische besitzt, soll ein Zehntel dieser Fische zum Wohle der Allgemeinheit abgeben.
Doch die Berater des Königs sind skeptisch:
“Euer Majestät, einige Einwohner besitzen riesige Fischteiche mit tausenden oder zehntausenden Fischen. Wie gedenkt Ihr, diese jemals zu zählen, um niemandem zu viel oder zu wenig abzunehmen?”
Der weise König antwortet:
“Sorgt Euch nicht. Bereits eine einzige Person alleine kann den Fischbestand selbst des größten aller Teiche genau genug bestimmen. Alles was sie dazu braucht, ist ein Netz für 100 Fische, eine Rolle roten Faden und zwei Tage Zeit.”
Wie gedenkt der König, den Fischbestand eines Sees zu bestimmen?
Lösung
Der König möchte den Fischbestand x des Sees statistisch abschätzen.
Folgendermaßen lässt er seine Fischzähler dazu an den zwei Tagen vorgehen:
1. Tag
Mit dem Netz werden 100 Fische des Sees (zufällig) gefangen. Jeder dieser Fische wird mit einem Stück Schnur um seine Schwanzflosse markiert. Sind alle 100 Fische gekennzeichnet, werden diese gemeinsam wieder freigelassen.
2. Tag
Über Nacht haben sich die Fische wieder zufällig im See verteilt und mit ihren unmarkierten Artgenossen durchmischt. Erneut werden dann 100 Fische nach dem Zufallsprinzip gefangen.
Einige dieser 100 Fische sind nun mit einem Stück Schnur markiert, wurden also ein zweites Mal gefangen. Die Anzahl dieser markierten Fische bezeichnen wir mit n.
Damit sind \frac{n}{100} (d. h. n \%) markiert.
Da es sich bei den am 2. Tag gefangenen 100 Fischen um eine zufällig gewählte Stichprobe aller Fische im gesamten See handelt, entspricht der prozentuale Anteil an markierten Fischen in der Stichprobe \left( \frac{n}{100}\right) in etwa dem prozentualen Anteil aller markierten Fische an allen Fischen insgesamt \left( \frac{100}{x} \right) .
Wir stellen diesen Ansatz nach der Anzahl aller Fische x im See um:
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