Im Casino “Würfelglück” gibt es ein neues Glücksspiel. Die Chancen, bei diesem Spiel zu gewinnen, stehen bei genau 50%. Dabei riskiert der Spieler einen bestimmten Einsatz a.
Gewinnt er bei dem Spiel, so wird sein eingesetztes Geld verdoppelt. Verliert er das Spiel, so ist sein Einsatz verloren.
Die Betreiber des Casinos sind sich allerdings nicht sicher, ob sich mit dem neuen Spiel auf lange Sicht tatsächlich Geld verdienen lässt. Deshalb überlegen sie sich an einem Beispiel, was genau passieren würde:
Eine Testspielerin gewinne und verliere also jeweils n Spiele. (Denn auf lange Sicht verliert und gewinnt man jeweils die Hälfte der 2n Spiele.) Die Reihenfolge der Siege und Niederlagen ist nicht bekannt. Dabei spielt sie jedes Mal mit einem festen prozentualen Anteil a ihres derzeitigen Geldbestandes.
Kann das Casino an dieser repräsentativen Spielerin Geld mit dem neuen Spiel verdienen?
Welchen Einfluss hat dabei die Reihenfolge von Siegen und Niederlagen?
Lösung
Das Casino verdient an dieser Spielerin tatsächlich Geld mit dem neuen Spiel. (Zumindest solange der Einsatz a größer als 0 ist.)
Zunächst kann man sich das anhand eines konkreten Beispiels klarmachen.
Beispiel Am Anfang habe die Spielerin insgesamt K_0=100€. Sei n=1, d.h. die Spielerin spielt zwei Spiele, von denen sie eines gewinnt und eines verliert. Ihr Einsatz sei dabei jeweils a=10\%.
Dann hat die Spielerin nach diesen beiden Spielen K = 100€ \cdot 1,10 \cdot 0,90 = 100€ \cdot 0,99 = 99€.
Weil der Faktor (1-a^2)^n für jeden Einsatz a>0 kleiner als 1 wird, verliert die Spielerin Geld.
Die Reihenfolge der Siege und Niederlagen ist hier aufgrund des Kommutativgesetztes des Multiplikation egal. Es spielt also keine Rolle, in welcher Reihenfolge sie gewinnt und verliert.
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