3 Punkt auf der Erdoberfläche wurden zufällig gewählt.
Auf der Halben Welt
Es werden drei Punkte auf der Erdoberfläche vollkommen zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt. (Alternativ kann man sich hier auch einfach einen handelsüblichen Globus vorstellen.)
Als Hemisphäre (altgriechisch: hemisphairion – Halbkugel) bezeichnet man in der Mathematik die Hälfte einer Kugel oder Kugeloberfläche. Auch in der Geographie wird der Begriff verwendet, um die Erdoberfläche in zwei Hälften zu teilen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 3 zufällig ausgewählten Punkte auf derselben Hemisphäre liegen?
Achtung: Für diese Fragestellung gibt es zwei Lesarten! Kannst du beide lösen?
1.) Nördliche und südliche Hemisphäre(vom Äquator getrennt)
2.) Irgendeine Erdhalbkugel
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle drei zufällig ausgewählten Punkte auf derselben Hemisphäre liegen, beträgt
1)1/4 bzw. 25% (wennsie entweder alle auf der nördlichen oder auf der südlichen Erdhalbkugel liegen sollen) 2) 100 % (wennsie auf irgendeiner gemeinsamen Erdhalbkugel liegen dürfen)
Wir besprechen die Lösungen für beide Fragestellungen.
1. Nördliche und südliche Hemisphäre In diesem Fall geht es also darum, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass entweder alle drei Punkte auf der Nordhalbkugel liegen oder dass sich alle drei Punkte gemeinsam auf der Südhalbkugel befinden.
Für jeden Punkt beträgt die Wahrscheinlichkeit 50 %, auf der Nordhalbkugel zu liegen und 50 %, auf der Südhalbkugel zu liegen.
(Der Äquator zählt zu beiden, kann aber vernachlässigt werden, da er eine sogenannte Nullmenge darstellt und die Wahrscheinlichkeit dafür, zufällig einen Punkt auf dem Äquator zu wählen, 0 % beträgt.)
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Punkte auf der Nord- oder Südhalbkugel liegen.
Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit zusammen \frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=25 \%, dass alle drei Punkte gemeinsam auf Nord- oder Südhalbkugel liegen.
2. Beliebige Erdhalbkugel Dazu definieren wir kurz, was ein Großkreis ist. Ein Großkreis ist ein Kreis auf einer Kugeloberfläche, dessen Mittelpunkt auch dem Mittelpunkt der Kugel entspricht. Ein Beispiel für einen Großkreis auf der Erdoberfläche ist etwa der Äquator.
Wir betrachten zunächst nur die ersten beiden zufällig gewählten Punkte.
Durch zwei beliebige (verschiedene) Punkte auf der Erdoberfläche gibt es genau einen einzigen Großkreis. Dieser halbiert die Erdoberfläche.
Im folgenden Bild sind einige Großkreise eingezeichnet. Dabei gibts es jedoch nur einen Großkreis, der durch die beiden eingezeichneten Punkte verläuft.
Der dritte Punkt liegt nun entweder auf der einen oder auf der anderen Seite dieses Großkreises (im Beispiel links oder rechts). Da die beiden Punkte auf dem Großkreis jedoch zu beiden Hälften gleichzeitig gehören, müssen am Ende alle drei Punkte auf der selben Hälfte der Kugeloberfläche liegen.
(Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der dritte Punkte auf dem Großkreis liegt, beträgt wieder 0 %, würde aber an der Gültigkeit der Aussage ohnehin nichts ändern.)
Schreibe einen Kommentar