Wenn sich alle 17 Personen jeweils die Hand geben würden, wären das 136 Handschläge.


Es gibt zwei Arten, auf diese Lösung zu kommen. Welchen Lösungsweg man dabei bevorzugt, hängt auch ein wenig vom Vorwissen ab.


1. Möglichkeit: Der direkte Weg

Zunächst veranschaulichen wir die Situation ein wenig. Dazu stellen wir die 17 Personen in einem Kreis auf.



Jetzt müssen wir jede Person mit jeder anderen Person verbinden, also Hände schütteln lassen. Dazu beginnen wir bei irgendeiner Person und verbinden diese mit allen übrigen 16 Personen.


Betrachten wir nun die zweite Person, so stellen wir fest, dass diese nur noch 15 Personen begrüßen muss. Mit unserer ersten Person hatte sie ja bereits das Vergnügen. Es kommen also zu den 16 Handshakes weitere 15 hinzu.

Bei der dritten Person kommen 14 weitere Handshakes hinzu und so weiter.

Das Spiel geht nun solange weiter, bis wir bei der letzten der 17 Personen angelangt sind. Hier kommt kein neuer Handshake mehr hinzu, denn diese Person hat bereits mit allen anderen Hände geschüttelt.

Wir berechnen also insgesamt

n = 16 + 15 + 14 + \dots + 1 + 0 = 136

Wenn du wissen möchtest, wie man diese Summe in Sekunden berechnet, hilft dir das Rätsel vom kleinen Gauß weiter!


2. Möglichkeit: Kombinatorik

Wie du womöglich schon festgestellt hast, geht es in der Aufgabe eigentlich nur darum herauszufinden, wie viele verschiedene Zweierpärchen man mit 17 Personen bilden kann.

Das ist nichts anderes als der Binomialkoeffizient \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!*(n-k)!}.
(Anzahl an Möglichkeiten aus n Objekten k Stück auszuwählen.)

Zur Erinnerung: 5! = 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 (5 “Fakultät”)

Wir berechnen also

\binom{17}{2}=\frac{17!}{2! \cdot 15!}=\frac{17 \cdot 16 \cdot \cancel{15} \cdot \cancel{14} \cdot \dots \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}}{2 \cdot 1 \cdot \cancel{15} \cdot \cancel{14} \cdot \dots \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}}=\frac{17*16}{2}=136.

Wenn du mit dem kleinen Gauß vertraut bist, wird dir diese Berechnung nun wieder bekannt vorkommen.