Wie steht es um die Freundschaften im Reichstagsgebäude?
Die Bundesregierung
Die Bundesregierung besteht derzeit aus 17 mehr oder weniger miteinander vertrauten Mitgliedern. Dazu kommen die unterschiedlichen politischen Anschauungen der drei Ampelkoalitionspartner. Dass dort wohl nicht jeder mit jedem befreundet sein wird, ist klar.
Wir wollen uns die Freundschaften im Kabinett einmal genauer anschauen. Dazu nehmen wir an, dass alle 17 Mitglieder dasselbe Verständnis von Freundschaft haben. Das bedeutet, dass wenn Person A behauptet, mit Person B befreundet zu sein, so würde auch Person B angeben, mit Person A befreundet zu sein. Außerdem kann man nicht mit sich selbst befreundet sein.
Wir stellen uns nun einmal die Frage, ob sich immer zwei Regierungsmitglieder finden lassen, die genau gleich viele Freunde haben oder ob sich eine Situation konstruieren lässt, sodass dies nicht der Fall ist.
Lösung
Tatsächlich findet man immer zwei Personen, die genau die gleiche Anzahl an Freundschaften innerhalb der Bundesregierung hegen.
Beweisidee:
Um das zu beweisen, verwenden wir das sogenannte Schubfachprinzip (manchmal auch Taubenschlagprinzip genannt). Die möglichen Anzahlen an Freunden sind die gedanklichen Schubfächer. Es gibt also die Schubfächer “0 Freunde”, “1 Freund”, “2 Freunde” und so weiter. Jedes Regierungsmitglied wird in das Schubfach gesteckt, das zur Anzahl seiner Freunde passt.
Wenn wir nun zeigen können, dass es höchstens 16 Schubfächer gibt, dann muss mindestens eines dieser Schubfächer doppelt belegt sein. Diese beiden Personen hätten dann also die gleiche Anzahl an Freunden.
Beweis:
Da man nicht mit sich selbst befreundet sein kann, kann man maximal 16 Freunde innerhalb der Bundesregierung haben. Damit haben wir allerdings noch immer 17 Schubfächer, nämlich von “0 Freunde” bis “16 Freunde”.
Wir betrachten nun drei verschiedene Fälle und schließen dabei jeweils mindestens eines der 17 Schubfächer aus.
Fall 1: Es gibt eine Person X ohne Freunde im Bundeskabinett. In diesem Fall kann es allerdings keine Person geben, die mit allen 16 Mitgliedern befreundet ist, da ja Person X gar keine Freunde hat. Es gibt also nur noch die 16 Schubfächer “0 Freunde” bis “15 Freunde”, auf die sich die 17 Mitglieder verteilen müssen.
Fall 2: Es gibt eine Person Y, die mit allen anderen befreundet ist. In diesem Fall kann es jedoch keine Person mehr geben, die keine Freunde hat, da ja jeder zumindest mit Person Y befreundet ist. Also gibt es die 16 Schubfächer “1 Freund” bis “16 Freunde”.
Fall 3: Es gibt weder eine Person ohne Freunde noch eine Person, die mit jedem befreundet ist. In diesem Fall gibt es die 15 Schubfächer “1 Freund” bis “15 Freunde”
In allen Fällen gibt es also höchstens 16 Schubfächer, auf die sich 17 Personen verteilen müssen. Mindestens ein Fach muss also doppelt belegt werden.
Natürlich gilt diese Überlegung nicht nur für 17 Personen. Tatsächlich funktioniert die Argumentation genauso für jede beliebige Personenzahl ab 2.
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