Diese Aufgabe stammt in ähnlicher Form aus einem Mathematik-Vergleichstest für achte Klassen. Zusammen mit dem unten abgebildeten Dreieck lässt sich die Frage schnell formulieren:
Wieso kann das unten abgebildete Dreieck mit den vorgegebenen Eigenschaften so nicht existieren?
Ein unmögliches Dreieck?
Lösung
Ein derartiges Dreieck mit den oben vorgegebenen Eigenschaften kann geometrisch tatsächlich nicht existieren.
Um das einzusehen, braucht es im Prinzip nur elementare Grundkenntnisse über Dreiecke.
Dazu sehen wir uns an, was sich aus den bereits vorgegebenen Eigenschaften schließen lässt und führen diese Schlussfolgerungen zu einem Widerspruch.
Konkret zeigen wir, dass das Dreieck eigentlich gleichseitig sein müsste, was im Widerspruch zu seinen unterschiedlich langen Seiten steht.
1. Schlussfolgerung: Das Dreieck ist gleichschenklig.
Das folgt (nach Definition) direkt daraus, dass die Seiten \overline{AB} und \overline{BC} (die sogenannten Schenkel) gleich lang sind.
Damit sind automatisch auch die beiden (Basis-)Winkel (nennen wir sie \alpha an der Ecke A und \gamma an der Ecke C) gleich groß.
Also gilt \alpha = \gamma = 60° .
2. Schlussfolgerung: Das Dreieck muss sogar gleichseitig sein.
Dazu zeigen wir, dass alle drei Winkel gleich groß sind:
Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt stets 180° , das heißt \alpha + \beta + \gamma = 180° .
Da nach unserer 1. Schlussfolgerung aber \alpha = \gamma = 60° , muss nach der Innenwinkelsumme auch \beta = 60° sein. Also sind alle drei Winkel gleich groß und das Dreieck somit gleichseitig.
Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß und auch alle drei Seiten gleich lang.
Zusammen:
Mit den vorgegebenen Eigenschaften müsste das Dreieck also einerseits gleichseitig sein (weil alle drei Winkel gleich groß sind), andererseits kann es aber gar nicht gleichseitig sein, da nicht alle Seiten gleich lang sind. Ein Widerspruch.
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