Ist es schneller, die halbe Strecke zu laufen oder die halbe Zeit?
Was ist schneller?
Robert und Emmy lieben es zu laufen, gehen aber gerne auch einfach nur spazieren. Die beiden planen einen Ausflug in eine nahegelegene Hütte.
Das trifft sich gut, denn in diesem Zug können die beiden endlich ihren Streit darüber beilegen, welche Methode schneller ist.:
Robert ist der Meinung, dass er eher am Ziel ankommt, wenn er die Hälfte der Strecke läuft (und die andere Hälfte geht).
Emmy behauptet, dass es schneller ist, die Hälfte der Zeit zu laufen (und die andere Hälfte der Zeit zu gehen).
Die beiden haben jeweils genau die gleiche Geschwindigkeit, sowohl beim Laufen als auch beim Gehen.
Ist es schneller, die Hälfte der Strecke oder die Hälfte der Zeit zu laufen?
Lösung
Es ist schneller, die Hälfte der Zeit zu laufen als die Hälfte der Strecke zu laufen.
Wir können uns diesem Problem auf drei verschiedene Arten näher. (1) Logik (2) Extreme Werte (3) Formaler Beweis
(1) Logische Betrachtung: Robert läuft die halbe Strecke und geht die andere Hälfte der Strecke. Da Gehen langsamer ist als Laufen, verbringt er mehr Zeit (also über die Hälfte seiner Zeit) gehend.
Emmy hingegen verbringt nur die Hälfte ihrer Zeit gehend und ist damit insgesamt schneller am Ziel.
(2) Extreme Werte: Häufig lassen sich derartige Probleme erstaunlich einfach lösen, wenn man extreme Werte einsetzt.
Sagen wir beispielsweise, die Geschwindigkeit beim Gehen betrage (fast) 0 \text{ m}/\text{s} und beim Laufen 10 \text{ m}/\text{s}.
Dann Würde Emmy eine Zeit lang gehen (also in diesem Beispiel fast stehen bleiben) und dann beginnen zu laufen. Insgesamt braucht sie (fast) doppelt so lange, wie wenn sie die gesamt Strecke laufen würde.
Robert hingegen würde erst sehr, sehr, sehr viel später am Ziel ankommen, da er mit einer Geschwindigkeit von (fast) 0 \text{ m}/\text{s} (fast) unendlich lange brauchen würde, um die eine Hälfte der Strecke zurückzulegen.
(3) Formaler Beweis: Sei d die Gesamtstrecke zur Hütte, g die Gehgeschwindigkeit und l die Laufgeschwindigkeit, wobei l > g.
Wir interessieren uns jeweils für die Durchschnittsgeschwindigkeit der beiden.
Dann ergibt sich für Robert die Gesamtzeit
\quad t_{\text{R}}=\frac{d/2}{g}+\frac{d/2}{l}=\frac{d\cdot (g+l)}{2gl}
und damit die Durchschnittsgeschwindigkeit \quad \bar{v}_{\text{R}}=\frac{d}{t_{\text{R}}}=\frac{2gl}{g+l}.
Für Emmy erhält man einfach die Durchschnittsgeschwindigkeit \quad \bar{v}_{\text{E}}=\frac{g+l}{2}.
Emmy hat also eine Durchschnittsgeschwindigkeit, die dem arithmetischen Mittel der beiden Einzelgeschwindigkeiten entspricht, während Roberts Durchschnittsgeschwindigkeit deren harmonisches Mittel ist.
Das arithmetische Mittel ist immer größer als das harmonische (Beweis?) und Emmy damit schneller am Ziel als Robert.
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