Jeder kennt ihn und jeder hat ihn schon einmal gemalt: den sogenannten regelmäßigen Fünfstrahl-Stern. Einen solchen Stern nennt man auch Pentagramm (altgriechisch: pentágrammos – “mit fünf Linien”).
Rot markiert sind die fünf Winkel in den fünf Zacken eines solchen regelmäßigen Fünfstrahls-Sterns.
Wie groß ist die Summe der fünf Zackenwinkel in einem Pentagon bzw. einem regelmäßigen Fünfstrahl-Stern?
Lösung
Die Summe der fünf Zackenwinkel in einem regelmäßigen Fünfstrahl-Stern beträgt 180°.
Lösungsweg 1 (anschaulich-elegant): Der erste Lösungsweg nutzt aus, dass 180° genau einer halben Umdrehung entspricht.
Dazu zeichnen wir zunächst einen Pfeil entlang einer der fünf Linien ein. Wir rotieren diesen Pfeil nun nacheinander um jeweils einen der fünf Zackenwinkel im Uhrzeigersinn, so wie im Bild dargestellt.
Nachdem wir einmal um jeden der fünf Zackenwinkel gedreht haben, hat sich die Spitze des Pfeils genau umgekehrt. Dies entspricht genau einer Rotation um 180°.
Lösungsweg 2 (geometrisch): Betrachten wir das Pentagramm, so erkennen wir in seinem inneren ein regelmäßiges Fünfeck (Pentagon), an dem fünf gleichschenklige Dreiecke anliegen.
Die Innenwinkelsumme eines Fünfecks beträgt 3\cdot 180 \degree = 540 \degree . Dies erkennt man zum Beispiel daran, dass sich ein Fünfeck in drei Dreiecke aufspalten lässt, deren Winkelsumme bekanntermaßen 180° beträgt, siehe unten.
Damit hat jeder der Innenwinkel dieses regelmäßigen Fünfecks im Inneren eine Weite von 540 \degree : 5 =108 \degree .
Damit lassen sich wie in untenstehender Skizze die Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke als Nebenwinkel berechnen. Es gilt 180 \degree – \; 108 \degree = 72 \degree .
Der zweite Basiswinkel hat damit natürlich ebenfalls eine Weite von 72°. Aufgrund der Innenwinkelsumme in Dreiecken muss der dritte Winkel (einer der gesuchten Zackenwinkel) damit 180 \degree – \; 2 \cdot 72 \degree = 36 \degree weit sein.
Aus Symmetriegründen ist damit die Summe aller fünf gleich weiten Zackenwinkel 5\cdot 36 \degree = 180 \degree .
Eine Antwort zu „Winkel, Winkel, Kleiner Stern (**)“
A.B.
Es gibt noch eine weitere geometrische Lösung: Immer zwei gegenüberliegende Zackenwinkel bilden mit einem Fünfeck-Innenwinkel ein Dreieck. Wenn man mittels Scheitelwinkel des Innenwinkels das Dreieck auf die andere Seite projiziert und etwas verkleinert – was die Winkel nicht ändert (Scheitelwinkel sind gleich; skalierte Dreiecke ändern ihre Winkel nicht) – dann erkennt man, dass alle fünf Zackenwinkel ein Dreieck bilden. Hilfslinie zum Verständnis: Zwei Zacken mit einer Gerade verbinden.
Ich hoffe, ich konnte es verständlich ausdrücken ohne Skizze.
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