Die einzig korrekte Antwort auf diese Frage ist A! Wir können aus den gegebenen Informationen also folgern, dass Pinocchio mindestens einen Hut besitzt. Alle übrigen Aussagen lassen sich nicht aus der Aufgabenstellung ableiten.

Da dieses Logikrätsel nicht ohne Grund so kontrovers auf Social Media diskutiert wurde, werden wir auf jede Antwortmöglichkeit detailliert eingehen und begründen, warum sie korrekt bzw. falsch ist.

Noch eine kurze Vorwarnung vorweg:
Die Antwort auf dieses Rätsel ist sehr lang, es lohnt sich aber sehr, diese zu lesen.


Kurze Vorbemerkung:
Wir müssen uns zunächst noch vor Augen führen, was es überhaupt bedeutet, dass Pinocchio lügt. Da wir hier in einem mathematisch-logischen Kontext unterwegs sind, verstehen wir unter einer Lüge einfach eine falsche Aussage.


Die falschen Antwortmöglichkeiten:
Wir widerlegen zunächst alle falschen Antwortmöglichkeiten.

Dazu genügt es, jeweils ein Gegenbeispiel anzugeben, sodass Pinocchio zwar einerseits lügt, wenn er behauptet “Alle meine Hüte sind grün”. Andererseits muss die jeweils zu überprüfende Aussage für ein solches Gegenbeispiel falsch sein.


• B: Nur einer von Pinocchios Hüten ist grün.
Zur Widerlegung dieser Aussage geben wir ein Beispiel an, bei dem Pinocchio drei Hüte besitzt. Diese Vorgehensweise beim Widerlegen ist möglich, da die Aussage für jedes erdenkliche Beispiel wahr sein müsste, wenn sie allgemein gelten soll.

Gegenbeispiel mit drei Hüten: rot, grün, grün

Pinocchio lügt also offensichtlich, wie gefordert, mit der Aussage “Alle meine Hüte sind grün”, da einer seiner drei Hüte nicht grün ist.

Die getestete Aussage, dass nur einer von Pinocchios Hüten grün ist, stimmt allerdings für dieses Beispiel bereits nicht und kann damit nicht allgemein aus der Aufgabenstellung gefolgert werden.


Du fragst dich sicherlich, wieso wir Antwortmöglichkeit C übersprungen haben. Das liegt daran, dass für die Eliminierung von Antwort C noch ein kleiner Exkurs in die Aussagenlogik nötig ist. Aber keine Sorge, es bleibt harmlos.


• D: Pinocchio besitzt mindestens einen grünen Hut.
Ähnlich wie bei Antwortmöglichkeit B, versuchen wir ein geeignetes Gegenbeispiel zu finden, das den Vorgaben entspricht.

Dazu nehmen wir beispielsweise an, Pinocchio besäße lediglich zwei blaue Hüte.

Gegenbeispiel mit zwei Hüten: blau, blau

Damit bleibt Pinocchios Aussage “Alle meine Hüte sind grün” definitiv unwahr, sprich eine Lüge, denn seine beiden Hüte sind definitiv nicht alle grün.

Die zu überprüfende Aussage “Pinocchio besitzt mindestens einen grünen Hut” stimmt allerdings trotzdem nicht, da er keinen einzigen grünen Hut besitzt. Damit lässt sich diese Aussage nicht allgemein aus der Fragestellung ableiten und auch Antwortmöglichkeit D scheidet somit aus.

Anmerkung:
Es hätte an dieser Stelle auch genügt, eine Konstellation aus nur einem einzigen nicht-grünen Hut zu betrachten. Auch dann wären nicht alle seine Hüte grün und dennoch besäße er nicht mindestens einen grünen Hut.


• E: Pinocchio besitzt keine grünen Hüte.
Genau wie bei den beiden bereits eliminierten Antwortmöglichkeiten benötigen wir auch hier wieder ein geeignetes Gegenbeispiel. Dazu betrachten wir beispielsweise das Szenario, dass Pinocchio zwei Hüte besitzt, von denen einer grün ist, der andere jedoch nicht.

Gegenbeispiel mit zwei Hüten: lila, grün

Wieder überprüfen wir zunächst, ob Pinocchio in dieser Situation mit seiner Aussagen “Alle meine Hüte sind grün” lügt, denn nur dann kommt dieses Situation als Gegenbeispiel überhaupt in Frage.

Dies ist definitiv der Fall, denn er besitzt hier einen lilafarbenen und damit nicht-grünen Hut. Es sind also nicht alle seine Hüte grün.

Allerdings ist die Aussage E, “Pinocchio besitzt keine grünen Hüte”, für das gewählte Beispiel falsch. Sie kann also nicht allgemein aus den Informationen der Aufgabenstellung gefolgert werden und scheidet somit ebenfalls aus.


• C: Pinocchio besitzt keine Hüte.
Wir kommen nun zu Antwortmöglichkeit C.

Diese Aussage wurde in den sozialen Netzwerken sehr häufig als korrekte Antwortmöglichkeit angegeben. Allerdings lässt sich auch diese Aussage tatsächlich nicht aus den gegebenen Informationen herleiten.

Kurzer Exkurs in die Aussagenlogik
Um das vollständig nachvollziehen zu können, folgt nun ein klitzekleiner Exkurs in die sogenannte Aussagenlogik. Konkret soll es hier, vereinfacht ausgedrückt, um wenn-dann-Aussagen gehen, die zwei Ereignisse, A und B miteinander in Beziehung setzen.

z. B. Wenn A eintritt, dann tritt auch B ein.
Diesen Satz schreibt man auch kurz als A \Rightarrow B.

Um zu sehen, wann eine solche wenn-dann-Aussage wahr ist, schauen wir uns einfach eine entsprechende sogenannte Wahrheitstabelle an. In der Tabelle sind alle möglichen Konstellationen für Voraussetzung und Folge aufgelistet mitsamt des resultierenden Wahrheitsgehalts für die wenn-dann-Aussage.

\begin{array}{c|c||c} A & B & A \Rightarrow B \\ \hline \\ \text{wahr} & \text{wahr} & \text{wahr} \\ \text{wahr} & \text{falsch} & \text{falsch} \\ \text{falsch} & \text{wahr} & \text{wahr} \\ \text{falsch} & \text{falsch} & \text{wahr} \\ && \end {array}

Kurze Erklärung dazu:

1. Zeile:
Die Voraussetzung (“wenn”) A ist in diesem Fall erfüllt und das, was aus ihre folgen soll (“dann”), nämlich B, ist ebenfalls wahr.

Damit ist auch A \Rightarrow B eine wahre Aussage: Sobald A eintritt, weiß man automatisch, dass auch B wahr sein muss.

2. Zeile:
Die Voraussetzung A ist wahr, also erfüllt. Das, was man eigentlich gerne aus A folgern möchte, nämlich B, ist allerdings nicht wahr.

In diesem Fall ist die wenn-dann-Aussage A \Rightarrow B also nicht richtig bzw. falsch.

3. Zeile:
Ab hier wird es für uns nun interessant. Was passiert, wenn die Voraussetzung unserer wenn-dann-Aussagen überhaupt nicht erfüllt ist?

In der Aussagenlogik gelten Folgerungen aus etwas Unwahrem oder Unmöglichem immer als wahr!!

Dies scheint auf den ersten Blick keinen Sinn zu ergeben. Es wird allerdings klarer, wenn wir uns ein Beispiel dazu ansehen.

Betrachten wir als Beispiel alle meine Tennis-Partien gegen Roger Federer, null an der Zahl. Wenn ich nun behaupte, ich habe alle meine Partien gegen Roger Federer gewonnen, habe ich nicht die Unwahrheit gesagt. Oder findest du eine Partie von mir gegen Roger Federer, die ich verloren habe? Diese Aussage ist also wahr.

Die wenn-dann-Aussage A \Rightarrow B gilt also automatisch als wahr, wenn die Voraussetzung A nicht erfüllt bzw falsch ist. (Sonderlich viel anfangen kann man mit dieser Aussage dann natürlich nicht.)


4. Zeile:
In dieser Zeile verhält es sich ganz ähnlich wie in der dritten Zeile. Auch hier ist die Voraussetzung A wieder falsch, also nicht gegeben. Allerdings tritt in diesem Fall nun B nicht ein.

Wie wir nun allerdings bereits wissen, ist die wenn-dann-Aussage A \Rightarrow B auch hier automatisch wahr, denn die Voraussetzung A ist nicht gegeben.

Um auf das Tennis-Beispiel zurückzukommen:
Natürlich habe ich nach der gleichen Logik auch jedes meiner Matches gegen Roger Federer verloren.

Es bestätigt sich, dass man aus solchen Folgerungen, die von einer unwahren oder unmöglichen Voraussetzung ausgehen in der Realität keine hilfreichen Informationen erwarten kann.


Zurück zu Antwortmöglichkeit C: Pinocchio besitzt keine Hüte:

Angenommen, diese Antwortmöglichkeit wäre richtig und ließe sich damit tatsächlich aus der Aufgabenstellung folgern. Dann besäße Pinocchio also keine Hüte.

Wie wir allerdings gerade gelernt haben, lässt sich aus dieser Tatsache, dass er keine Hüte besitzt, alles Mögliche (nicht nur) über seine Hüte folgern. Jede dieser Folgerungen wäre technisch gesehen (bzw. formal logisch) eine wahre Aussage.

Damit wäre also insbesondere auch die Folgerung, dass alle von Pinocchios Hüten grün sind, korrekt. Dann wiederum hätte Pinocchio allerdings nicht, wie in der Aufgabenstellung eigentlich gefordert, gelogen, wenn er sagt “Alle meine Hüte sind grün”.

Wir sind also auf einen Widerspruch gestoßen. Damit kann Antwortmöglichkeit C nicht richtig sein.


Nach dem Ausschlussprinzip verbleiben wir also mit Antwortmöglichkeit A.


Die richtige Antwortmöglichkeit

• A: Pinocchio besitzt mindestens einen Hut.
Wir begnügen uns selbstverständlich nicht damit, einfach alle übrigen Antwortmöglichkeiten ausgeschlossen zu haben. Wir wollen abschließend verstehen, warum Pinocchio nun mindestens einen Hut besitzen muss.

Aus der (nach Voraussetzung) unwahren Aussage “Alle meine Hüte sind grün” können wir schließen, dass nicht alle seine Hüte grün sein können. Mindestens einer seine Hüte muss also nicht-grün sein.

Da ein solcher nicht-grüner Hut existieren muss, besitzt Pinocchio damit automatisch mindestens einen Hut, nämlich genau diesen nicht-grünen Hut. Darüber ob und wie viele Hüte Pinocchio sonst noch besitzt, können wir an dieser Stelle übrigens keine Aussage treffen. Wir wissen nur sicher, dass es einen Hut in Pinocchios Besitz gibt, welcher nicht grün ist.

Die Aussage A, “Pinocchio besitzt mindestens einen Hut”, lässt sich also direkt aus den gegebenen Informationen folgern.


Schlussbemerkung:
Die Idee zu diesem Logikrätsel stammt vom amerikanischen YouTube-Kanal MindYourDecision. Diesem wiederum wurde das portugiesischsprachige Rätsel aus der angesprochenen brasilianischen Mathematik-Olympiade von einem seiner Zuschauer zugesendet und übersetzt.

Wer Lust hat, kann sich das zugehörige Video hier ansehen.