Der Kalender zeigt den 31. Oktober. Vlad der Vampir steckt mitten in den Vorbereitungen für den Halloween-Abend.
Dafür hat er auch eine riesige Packung Halloween-Bonbons eingekauft, die er den umherziehenden Kindern anbieten kann. In der Packung befinden sich insgesamt 100 Bonbons. Die Hälfte von ihnen ist süß, die andere Hälfte ist sauer.
Wie muss Vlad die süßen und sauren Bonbons auf zwei Gefäße verteilen, sodass die Wahrscheinlichkeit, ein süßes Bonbon zu erwischen maximal ist, wenn sowohl das Gefäß als auch das aus dem Gefäß entnommene Bonbon zufällig ausgewählt werden?
Wie groß ist die maximale Wahrscheinlichkeit für ein süßes Bonbon?
Lösung
Die maximale Wahrscheinlichkeit beträgt knapp 74,5 \% .
Für diese maximale Wahrscheinlichkeit muss sich ein einziges süßes Bonbon in dem einen Gefäß befinden. In dem anderen Gefäß müssen sich dann die übrigen 99 Bonbons befinden.
Wie berechnet sich die Wahrscheinlichkeit?
Die Auswahl der Gefäße lässt sich nicht beeinflussen. Beide Gefäße werden mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 50 \% gewählt.
(Sobald also ein Gefäß nur süße Bonbons enthält, beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit für ein süßes Bonbon mindestens \; 50 \% .)
Befindet sich in einem Gefäß also nur 1 Bonbon, nämlich ein süßes, befinden sich im anderen insgesamt 99 Bonbons, nämlich 49 süße und 50 saure.
Damit ergibt sich dann die Wahrscheinlichkeit für ein süßes Bonbon von
Um diese Lösung auch quantitativ nachzuvollziehen rechnen wir ganz einfach nach:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 \% wird der Topf mit dem einen süßen Bonbon ausgewählt. Falls dieser gewählt wurde, wird danach mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{1}{1} = 100 \% auch das süße Bonbon gewählt.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 \% wird der Topf mit den 99 Bonbons ausgewählt. In diesem Fall beträgt die Wahrscheinlichkeit, dann zufällig ein süßes Bonbon zu wählen, \frac{49}{99} .
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