In einer ruhigen Minute beobachtet Herr Zeiger eine seiner Uhren in seinem kleinen Uhrenladen. Bei der Uhr handelt es sich um ein Modell ohne Sekundenzeiger. Daher liegt seine Aufmerksamkeit ganz auf dem Minutenzeiger und dem Stundenzeiger.
Plötzlich schlägt Punkt 12. Der Minutenzeiger steht perfekt auf dem Stundenzeiger. Das regt Herrn Zeiger zum Nachdenken an. Herr Zeiger fragt sich, wie oft sich die beiden Zeiger wohl täglich begegnen.
Wie oft steht der Minutenzeiger im Laufe eines Tages genau auf dem Stundenzeiger? Zu welchen Uhrzeiten geschieht das?
Lösung
Innerhalb von 24 Stunden steht der Minutenzeiger genau 22 mal auf dem Stundenzeiger.
Um das nachzuvollziehen, betrachten wir zunächst eine Zeitspanne von 12 Stunden, am einfachsten also von 0:00 bis 11:59.
Die erste Begegnung der beiden findet natürlich gleich um Mitternacht, also, 0:00 statt.
Da sich beide Zeiger stets mit gleicher Geschwindigkeit bewegen, finden die Überrundungen auch immer im gleichen Abstand nacheinander statt. Die nächste beobachten wir dann etwa 1:05.
Bevor wir die genauen Uhrzeiten bestimmen, genügt uns die grobe Abschätzung von etwa 65 Minuten zwischen den Überrundungen. Der Minutenzeiger muss nämlich nicht nur die 60 Minuten einer Stunde zurücklegen, sondern auch noch die Strecke, die der Stundenzeiger seit der letzten Überrundung geschafft hat.
Somit kommen wir auf insgesamt 11 Treffen der beiden innerhalb von 12 Stunden. Dabei zählt diejenige um 12:00 noch nicht dazu!
Nun können wir die vergangene Zeitspanne von 12h durch die Anzahl an beobachteten Überrundungen teilen und kommen somit auf eine Überrundung alle \frac{12 \text{h}}{11}=1,\bar{09}\text{h}. Das entspricht in etwa 1h 5min 27s.
Damit treffen sich die beiden Zeiger “vormittags” zu folgenden Zeiten:
Insgesamt kommen wir so also auf 22 Überrundungen. Es wäre natürlich genauso korrekt, die erste Überrundung um (etwa) 1:05 zu zählen. Dann würde man dafür einfach das Treffen um 24:00 als 22. dazuzählen.
Achtung: Innerhalb eines Tages darf nur entweder die Überrundung um 0:00 oder die um 24:00 Uhr gezählt werden. Die jeweils andere gehört zu einem anderen Tag und würde sonst doppelt gezählt werden.
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