Auch wenn es auf den ersten Blick etwas verwirrend erscheint, gilt tatsächlich ganz genau 0,\bar{9}=1

Um das zu zeigen, gibt es zwei relativ einfache Beweise

1.: Beweis mit Dritteln
Dafür nehmen wir uns einfach einmal eine 1 und zerteilen sie in drei gleiche Teile, also Drittel.

1=3\cdot\frac{1}{3}

Jedes dieser Drittel hat dabei den Wert \frac{1}{3}=1:3=0,3333…=0,\bar{3}.
Setzen wir für \frac{1}{3} oben also 0,\bar{3} ein, erhalten wir

1=3\cdot0,\bar{3}.

Nun führen wir die Multiplikation auf der rechten Seite aus und erhalten tatsächlich

1=0,\bar{9}.

Das Ganze funktioniert übrigens auch mit Neunteln.


2.: Beweis mit der Kommaverschiebung

Bei diesem Beweis beginnen wir mit der Gleichung x=0,\bar{9}, die wir (*) nennen und zeigen davon ausgehend, dass x gleichzeitig auch gleich 1 ist.

Hier benutzen wir die “ausgeschriebene” Form mit den unendlich vielen 9en, um das Vorgehen besser zu verdeutlichen.

x=0,\bar{9}=0,9999… \space\space\space\space \vert\cdot 10

Im nächsten Schritt multiplizieren wir die Gleichung (*) auf beiden Seiten mit 10 und erhalten

10\cdot x=9,9999… \space\space\space\space \vert -(*)

Auf der rechten Seite wurde einfach das Komma um eine Stelle nach links verschoben, was das gleiche ist wie eine Multiplikation mit 10. Auch danach haben wir natürlich noch unendlich viele 9en nach dem Komma.

Als nächstes ziehen wir davon unsere erste Gleichung (*) ab und bekommen

\begin{aligned} 10 \cdot x – x &= 9,9999… – 0,9999… \\ 9 \cdot x &= 9,0000… \space\space\space\space \end{aligned}

Teilen wir beide Seiten nun durch 9, erhalten wir

x=1,0000…

und damit insgesamt

0,9999…=x=1,0000 bzw. 0,\bar{9}=1.

Wer es immer noch nicht glauben kann, der kann sich auf Madipedia noch weitere Beweisideen ansehen.