Es war einmal eine bildhübsche Prinzessin. Die Prinzessin liebte es, im idyllischen Bergsee am Rande des Königreichs zu baden. Doch außerhalb der Schlossmauern trieb eine böse Hexe ihr Unwesen, welche in der Nähe des Sees wohnte und es auf die Schönheit der Prinzessin abgesehen hatte.
So begab es sich, dass die Prinzessin eines Tages im Bergsee schwamm, als sie die böse Hexe am Ufer erblickte. Glücklicherweise konnte die Hexe nicht schwimmen. Deshalb schwamm die Prinzessin zunächst in die Mitte des kreisrunden Sees, um sich fürs erste in Sicherheit zu bringen und sich eine Fluchtstrategie zu überlegen. Folgendes wusste die Prinzessin:
„An Land bewegt sich die Hexe viermal so schnell wie ich schwimmen kann.“
„Die Hexe versucht stets, so nah wie möglich an mich heranzukommen.“
„An Land bin ich schneller, als die alte Hexe.“
Kann sich die Prinzessin allein aus dieser aussichtslosen Lage befreien?
Lösung
Die Prinzessin kann sich tatsächlich ohne fremde Hilfe aus ihrer Lage befreien. Wie funktioniert das?
Würde sie vom Mittelpunkt direkt an das Ufer schwimmen, das am weitesten von der Hexe entfernt liegt, so müsste sie den Radius r des Kreissees zurücklegen. Um der Hexe auf diese Weise zu entkommen, müsste die Hexe für eine halbe Seeumrundung schon langsamer sein.
Der Weg der Hexe wäre also r \cdot \pi, das heißt in etwa dreimal so weit, wie der der Prinzessin. Da die Hexe jedoch viermal so schnell ist, wird diese Strategie leider nicht funktionieren.
Tatsächlich muss die Prinzessin zunächst ein Stück auf die Hexe zuschwimmen. Solange sie nah am Mittelpunkt bleibt, kann sie diesen schneller umrunden als die Hexe den See. Erst wenn die Prinzessin sich ein Viertel des Radius vom Mittelpunkt entfernt hat, braucht sie für eine Umrundung so lange wie die Hexe, da diese zwar viermal so schnell ist, aber auch einen viermal so weiten Weg für eine Umrundung zurücklegen muss. Ihre Winkelgeschwindigkeit ist also gleich, da beide für 360° die gleiche Zeit benötigen.
Die Prinzessin nutzt also ihren Winkelgeschwindigkeitsvorteil innerhalb dieses Bereiches, um sich möglichst weit von der Hexe zu entfernen. Das stellt sie sicher, indem Sie so schwimmt, dass sich der Mittelpunkt des Sees immer genau zwischen ihr und der Hexe befindet.
Nun beträgt ihr Weg ans rettende Ufer nur noch ¾ des Radius, während die Hexe noch immer r \cdot \pi zurücklegen muss. Wenn sie dafür weniger Zeit benötigt als die Hexe, wird sie entkommen. Geschwindigkeit ist Distanz pro Zeit (v=\frac{s}{t}) oder umgeformt t=\frac{s}{v}.
Wir setzen die jeweiligen Strecken und Geschwindigkeiten der beiden ein und tatsächlich: Die Prinzessin benötigt für ihre Strecke die Zeit t_P=\frac{\frac{3}{4}\cdot r}{v}. Die Hexe benötigt hingegen die Zeit t_H=\frac{r \cdot \pi}{4v}.
Wir vergleichen die beiden Zeiten und stellen fest: da \pi größer ist als 3, braucht die Hexe länger und die Prinzessin kann fliehen, bevor die Hexe sie erwischt.
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