Murmeln – diese kleinen, bunten Glaskugeln üben seit jeher eine magische Anziehungskraft auf Menschen aller Altersgruppen aus. Einfach, aber dennoch vielseitig, bieten Murmeln nicht nur stundenlangen Spielspaß, sondern auch eine schier unendliche Quelle für Faszination und Nostalgie.
Das Murmel-Rätsel
Stellen wir uns einen gewöhnlichen Tisch und einen Sack voller (gleich großer) Murmeln vor. Wir legen nun eine dieser Murmeln auf den Tisch.
Anschließend versuchen wir, möglichst viele andere Murmeln so auf dem Tisch zu platzieren, dass sie diese erste Murmel berühren.
Wie viele andere Murmeln kann die erste Murmel höchstens gleichzeitig berühren, wenn alle Murmeln dabei auf dem Tisch liegen müssen?
Tipp
Wie sieht das Problem aus der Vogelperspektive aus?
Lösung
Die erste Murmel kann höchstens 6 weitere Murmeln gleichzeitig berühren, wenn alle Murmeln auf dem Tisch liegen müssen.
Lösungsweg: Wie im Tipp bereits angedeutet, hilft es, das Problem von oben zu betrachten.
Da alle Murmeln den Tisch berühren müssen und gleich groß sind, können wir das Problem auf den Tisch projizieren und nun ganz einfach Kreise betrachten (die Schatten).
Wir beginnen also mit der ersten Murmel, welche wir nachfolgend blau darstellen wollen.
Wir legen nun direkt zwei Murmeln an diese erste Murmel an. Dies tun wir möglichst platzsparend, d. h. beide neuen Murmeln berühren sich auch gegenseitig.
Wenn wir nun die Mittelpunkte der drei Kreise miteinander verbinden, entsteht ein gleichseitiges Dreieck (mit Innenwinkeln von 60°), wie man sich leicht durch Symmetrieüberlegungen klarmachen kann.
Fügen wir nun iterativ weitere Murmeln (wieder möglichst platzsparend) hinzu, so erkennen wir, dass sich am Ende exakt 6 Murmeln um diese erste Murmel anordnen lassen.
Die sechs 60° Winkel der aneinandergrenzenden Dreiecke ergeben genau einen 360°-Vollwinkel in der Mitte.
Man nennt diese Zahl 6 auch die Kusszahl für den zweidimensionalen Fall, da ein Kreis maximal 6 gleich große Kreise gleichzeitig “küssen” kann.
Übrigens:
Würden wir von den Murmeln nicht verlangen, dass sie auf dem Tisch liegen müssen, so würden wir nach der Kusszahl für den dreidimensionalen Fall fragen, welcher deutlich schwieriger zu lösen ist:
Wie viele andere Murmeln kann eine gegebene Murmel höchstens gleichzeitig berühren? (Die Antwort lautet 12.)
Obwohl sich beispielweise schon Isaac Newton im 17. Jahrhundert mit diesem Problem beschäftigte, gelang der erste formale Beweis erst im Jahr 1953.
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