Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sternschnuppe?
Sternschnuppen Beobachten
Mit etwas Glück und Geduld lassen sich in einer klaren Sommernacht Sternschnuppen beobachten. Zu manchen Zeiten im Jahr, vor allem im Juli und August, kann man sie besonders häufig entdecken.
Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer halben Stunde eine Sternschnuppe zu beobachten, 98 % beträgt.
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, in einem Zeitraum von 10 Minuten (mindestens) eine Sternschnuppe zu entdecken?
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit, in einem Zeitraum von 10 Minuten mindestens eine Sternschnuppe zu beobachten, beträgt in etwa 73 %.
Wie so häufig, wenn man es mit Wahrscheinlichkeiten zu tun hat, hilft uns die Betrachtung des Gegenereignisses.
Sei p_{10} die gesuchte Wahrscheinlichkeit, in einem Zeitraum von 10 Minuten eine Sternschnuppe zu beobachten. Dann ist \bar{p}_{10}=1-p_{10} die Wahrscheinlichkeit, in 10 Minuten keine Sternschnuppe zu sehen.
Da alle 10-Minuten-Zeiträume stochastisch unabhängig voneinander sind (sich also nicht gegenseitig beeinflussen), ist die Wahrscheinlichkeit \bar{p}_{30} dafür, in 30 Minuten keine Sternschnuppe zu beobachten, dadurch beschrieben, dass dreimal 10 Minuten keine Sternschnuppe gesichtet wird, also \bar{p}_{30}=\bar{p}_{10} \cdot \bar{p}_{10} \cdot \bar{p}_{10} = \bar{p}_{10}^3 .
Die Wahrscheinlichkeit \bar{p}_{30} = 1-p_{30}=1-0,98=0,02 ist aus der Aufgabenstellung indirekt bekannt.
Damit erhalten wir die Gleichung \bar{p}_{10}^3 = \bar{p}_{30}=0,02 .
Ziehen wir links und rechts die dritte Wurzel, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, in 10 Minuten keine Sternschnuppe zu beobachten, zu
Das Gegenereignis dazu, in 10 Minuten keine Sternschnuppe zu beobachten, ist unsere gesuchte Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Sternschnuppe in 10 Minuten zu beobachten. Also beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit
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