Man sollte als 10. auf der Geburtstagsparty erscheinen.

Lösungsweg:
Wir nähern uns der Lösung dieses Problems, indem wir die ersten paar Gäste konkret betrachten, um das Verteilungsschema besser zu verstehen.

Gast Nummer 1:
Gast Nummer 1 erhält 1 \%=\frac{1}{100} des gesamten Kuchens.

Anteil von Gast Nummer 1:
\quad \frac{1}{100}
Anteil des verbleibenden Kuchens:
\quad \frac{99}{100}


Gast Nummer 2:
Gast Nummer 2 erhält 2 \%=\frac{2}{100} des übrigen Kuchens. Nach Gast Nummer 1 sind noch \frac{99}{100} des anfänglichen Kuchens übrig.

Anteil von Gast Nummer 2:
\quad \frac{2}{100}\cdot \frac{99}{100}
Anteil des verbleibenden Kuchens:
\quad \frac{99}{100}\cdot \frac{98}{100}


Gast Nummer 3:
Gast Nummer 3 erhält 3 \% =\frac{3}{100} des übrigen Kuchens. Nach Gast Nummer 2 waren noch \frac{99}{100}\cdot \frac{98}{100} des anfänglichen Kuchens übrig.

Anteil von Gast Nummer 3:
\quad \frac{3}{100}\cdot \frac{99}{100}\cdot \frac{98}{100}
Anteil des verbleibenden Kuchens:
\quad \frac{99}{100}\cdot \frac{98}{100}\cdot \frac{97}{100}


Gast Nummer k:
Gast Nummer k erhält k \%=\frac{k}{100} des Kuchens, der nach Gast Nummer k-1 übrig geblieben ist. Das sind noch \frac{99}{100}\cdot \frac{98}{100} \cdot …\cdot \frac{100-(k-2)}{100} des anfänglichen Kuchens.

Anteil von Gast Nummer k:
\quad \frac{k}{100}\cdot \frac{99}{100} \cdot \frac{98}{100}\cdot … \cdot \frac{100-(k-2)}{100}

Dieser Ausdruck lässt sich zusammenfassen zu
\quad A(k) \coloneqq \frac{k}{100^k} \cdot \frac{99!}{(99-(k-1))!} = \frac{k}{100^k} \cdot \frac{99!}{(100-k)!} .


Wir betrachten nun den nächsten Gast, Gast Nummer k+1. Dieser erhält nach obiger allgemeiner Formel den Anteil
\quad A(k+1) = \frac{k+1}{100^{k+1}} \cdot \frac{99!}{(99-k)!} .


Wir interessieren uns nun dafür, für welche Werte für k Gast Nummer k+1 mehr oder weniger Kuchen erhält als Gast Nummer k. Dazu bilden wir den Quotienten

\begin{aligned} \quad \frac{A(k+1)}{A(k)} &= \frac{\; \frac{k+1}{100^{k+1}} \cdot \frac{99!}{(99-k))!}\;}{\frac{k}{100^k} \cdot \frac{99!}{(100-k)!}} \\ &= \frac{k+1}{100^{k+1}} \cdot \frac{99!}{(99-k)!} \cdot \frac{100^k}{k} \cdot \frac{(100-k)!}{99!} \\ &= \frac{k+1}{k}\cdot \frac{99!}{99!} \cdot \frac{100^k}{100^{k+1}} \cdot \frac{(100-k)!}{(99-k)!} \\ &= \frac{k+1}{k}\cdot 1 \cdot \frac{1}{100} \cdot \frac{100-k}{1} \\ &= \frac{(k+1) \cdot (100-k)}{100k} \end{aligned} .


Gast Nummer k+1 erhält dabei ein größeres Stück als Gast Nummer k, wenn dieser Quotient größer ist als 1. Wir untersuchen nun, für welche Werte von k dies der Fall ist. Der Ansatz lautet also

\begin{aligned} \quad &\frac{(k+1) \cdot (100-k)}{100k} &&> 1 \qquad \qquad |\cdot 100k \\ \Leftrightarrow \quad &(k+1)\cdot (100-k) &&> 100k \\ \Leftrightarrow \quad &100k-k^2+100-k &&> 100k \\ \Leftrightarrow \quad &100 &&> k^2+k \end{aligned} .

Diese Ungleichung ist erfüllt für k=1,2,3,\dots,8,9.

Es gilt dabei stets
\quad \text{Der Kuchenanteil wächst} \Leftrightarrow \frac{A(k+1)}{A(k)}>1 .

Diese Ungleichung war erfüllt bis einschließlich k=9. Das bedeutet, dass \frac{A(9+1)}{A(9)}>1 ist und damit Gast Nummer 10 mehr vom Kuchen erhält als Gast Nummer 9.

Ab Gast Nummer 11 nimmt der Kuchenanteil dann wieder ab, da die Ungleichung ab k=10 nicht mehr erfüllt ist.