Ist die Quadratwurzel aus 2 eine irrationale Zahl?
Die Quadratwurzel aus 2 irrational?
Die Quadratwurzel aus 2, kurz \sqrt{2}, ist dir sicherlich schon einmal begegnet. Beispielsweise hat ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 eine Diagonale, die genau \sqrt{2} lang ist.
Wurzel 2 als Diagonale des Einheitsquadrats
Die Frage, die sich uns nun stellt ist, ob \sqrt{2} eine rationale Zahl ist. Gilt also \sqrt{2} \in \mathbb{Q}?
Zur Erinnerung:
Jede rationale (lat. ratio – Verhältnis) Zahl muss sich als das Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Für jede rationale Zahl q \in \mathbb{Q} findet man also zwei ganze Zahlen a, b \in \mathbb{Z}, sodass q = \frac{a}{b}. So ist beispielsweise -1.5 eine rationale Zahl, da sie sich als das Verhältnis \frac{-3}{2}=-1.5 der beiden ganzen Zahlen -3 und 2 darstellen lässt. Natürlich könnte man genauso auch -6 und 4 wählen.
Kann man also zwei ganze Zahlena, b \in \mathbb{Z}finden, sodass\sqrt{2}=\frac{a}{b}ist?
Lösung
Tatsächlich ist es unmöglich, zwei ganze Zahlena, b \in \mathbb{Z} zu finden, sodass\sqrt{2}=\frac{a}{b}ist!
Um das zu zeigen, verwenden wird einen sogenannten Widerspruchsbeweis. Wir nehmen dazu einfach einmal an, \sqrt{2} wäre rational und sehen uns an, was dann passieren würde.
Dann müsste es also auch zwei ganze Zahlen a, b \in \mathbb{Z} geben mit \frac{a}{b} = \sqrt{2}. Der Bruch \frac{a}{b} sei dabei bereits vollständig gekürzt.
Außerdem wissen wir, dass \sqrt{2} zwischen den beiden natürlichen Zahlen 1 und 2 liegt. Also kann \sqrt{2}=\frac{a}{b} schon mal keine natürliche Zahl sein.
Das bedeutet, der Nenner b ist also ungleich 1 (und -1).
Wir quadrieren unsere Anfangsgleichung \sqrt{2} = \frac{a}{b} und erhalten
(☆) 2 = \frac{a^2}{b^2}
Auch der Bruch \frac{a^2}{b^2} kann dann nicht weiter gekürzt werden, wie man sich an der Primfaktorzerlegung leicht klarmachen kann. Außerdem ist b^2 \neq 1, weil b \neq \pm 1 war. Wenn b^2 jedoch ungleich 1 ist, kann der gekürzte Bruch \frac{a^2}{b^2} keine natürliche Zahl darstellen.
In Gleichung (☆) haben wir damit also einen Widerspruch gefunden. Links steht eine natürliche Zahl (nämlich 2), rechts steht jedoch etwas, das nicht natürlich sein kann!
Wegen dieses Widerspruches muss die Annahme, dass \sqrt{2} rational ist, bereits falsch gewesen sein. Damit ist Wurzel 2 also tatsächlich irrational.
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