Ist die Wurzel aus 2 irrational? (****)

Wurzel 2 sqrt 2 irrational

Die Quadratwurzel aus 2, kurz \sqrt{2}, ist dir sicherlich schon einmal begegnet. Beispielsweise hat ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 eine Diagonale, die genau \sqrt{2} lang ist.

Wurzel 2 Quadrat

Die Frage, die sich uns nun stellt ist, ob \sqrt{2} eine rationale Zahl ist. Gilt also \sqrt{2} \in \mathbb{Q}?


Zur Erinnerung:

Jede rationale (lat. ratio – Verhältnis) Zahl muss sich als das Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Für jede rationale Zahl q \in \mathbb{Q} findet man also zwei ganze Zahlen a, b \in \mathbb{Z}, sodass q = \frac{a}{b}. So ist beispielsweise -1.5 eine rationale Zahl, da sie sich als das Verhältnis \frac{-3}{2}=-1.5 der beiden ganzen Zahlen -3 und 2 darstellen lässt. Natürlich könnte man genauso auch -6 und 4 wählen.


Kann man also zwei ganze Zahlen a, b \in \mathbb{Z} finden, sodass \sqrt{2}=\frac{a}{b} ist?

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