Gegeben ist ein Quadrat, dessen Diagonale zweimal rechtwinklig abgeknickt ist. Wie auf dem obigen Bild dargestellt, hat die “Diagonale” vor dem Knick die Länge 4 und nach dem Knick die Länge 3. Die beiden Knickstellen haben einen Abstand von 1 zueinander.
Welche Seitenlänge hat das abgebildete Quadrat?
Lösung
Das abgebildete Quadrat hat eine Seitenlänge von a=5 Längeneinheiten.
Um die Seitenlänge a des Quadrates zu ermitteln, benötigen wir den Satz des Pythagoras sowie ein noch nicht eingezeichnetes Hilfsdreieck.
Dieses Hilfsdreieck dient dazu, die Länge der eigentlichen Diagonale d des Quadrates zu berechnen. Das Hilfsdreieck ist unten in rot abgebildet.
Da es sich beim Hilfsdreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, können wir den Satz des Pythagoras (a^2+b^2=c^2) anwenden. Die Katheten haben die Längen 4+3=7 sowie 1.
Damit berechnen wir die Länge der Diagonale d als Hypotenuse des Hilfsdreiecks. Es ist
d^2 = 7^2+1^2 = 49 + 1 = 50 .
Natürlich bildet die Diagonale ein weiteres rechtwinkliges Dreieck mit zwei der Quadratseiten. Damit können wir den Satz des Pythagoras erneut anwenden. Dann ergibt sich
d^2=a^2+a^2 .
Verbinden wir beide Gleichungen, können wir nach der Seitenlänge a auflösen und erhalten
Moin,
tatsächlich wird für das Lösen dieses Rätsels kein Satz des Pythagoras benötigt, wenn man erkennt, dass sich durch die Wahl der Werte (3+1=4) das Quadrat aus 4 rechtwinkligen Dreiecken mit Katheten der Längen 3 und 4, also der Fläche 6 FE, und einem 1 FE großen Quadrat in der Mitte zusammensetzt. Zusammen also 25 FE. Durch 3-fache 90°-Rotation der Zeichnung sollte das deutlich werden.
Markus’ Lösung ist tatsächlich ziemlich elegant!
FE steht für Flächeneinheit und ist das Quadrat einer Längeneinheit.
Ich hoffe, das Bild hilft beim Verständnis.
Liebe Grüße
Alex
Ja, genau so. Vielen dank für die Veranschaulichung, Alex.
@Christian, ist es möglich, meinen Nachnamen aus der ursprünglichen Nachricht zu löschen? Ich versuche, meinen Internet-Fußabdruck möglichst klein zu halten und hatte das nur mit vollem Namen signiert, weil ich dachte, ich schreibe dich direkt an und nicht einen öffentlichen Kommentar.
Mal wieder nach dem absenden ist mir klar geworden, dass du (Alex) natürlich der Webseitenbetreiber bist, und nicht Christian. Ich sollte mir mal einen Kaffee machen…
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