In diesem Rätsel gehen wir davon aus, dass es genau gleich viele Jungen wie Mädchen in der Bevölkerung gibt. (Tatsächlich sind in Deutschland in der Realität 51 % der Neugeborenen Jungen und nur 49 % Mädchen.)
Renata hat bereits zwei Kinder. Eines dieser beiden Kinder ist ein Junge.
Wie hoch ist mit diesem Wissen die Wahrscheinlichkeit, dass auch das andere Kind ein Junge ist?
Vorsicht: Nicht zu schnell antworten und noch einmal genau überlegen!
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auch Renatas zweites Kind ein Junge ist, beträgt 1/3.
Da sich vermutlich viele an dieser Stelle wundern werden, wie die Wahrscheinlichkeit nicht bei 1/2, also 50 %, liegen kann, werden wir den Lösungsweg ausführlich besprechen.
Dazu fertigen wir als erstes ein Baumdiagramm an.
Die Wahrscheinlichkeit, als erstes Kind einen Jungen zu bekommen beträgt 50 %. Genauso wahrscheinlich ist es, als erstes Kind ein Mädchen zu kriegen.
Unabhängig davon, ob eine Frau als erstes Kind einen Jungen oder ein Mädchen bekommen hat, ist die Chance beim zweiten Kind wieder 50 % für einen Jungen und 50 % für ein Mädchen.
Insgesamt gibt es also 4 Konstellationen, die jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit von \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} haben:
• Fall 1: 1. Kind Junge & 2. Kind Junge • Fall 2: 1. Kind Junge & 2. Kind Mädchen • Fall 3: 1. Kind Mädchen & 2. Kind Junge • Fall 4: 1. Kind Mädchen & 2. Kind Mädchen
Fall 1 (Mädchen & Mädchen) können wir ausschließen.
Über das Alter der Kinder wissen wir nichts. Das bedeutet, wir müssen alle drei übrigen Fälle in Betracht ziehen. Diese drei Fälle sind jedoch noch immer alle gleich wahrscheinlich!
In den beiden “gemischten” Fällen 2 (1. Kind Junge & 2. Kind Mädchen) und 3 (1. Kind Mädchen & 2. Kind Junge) wäre das übrige Kind ein Mädchen. Im dritten Fall (Junge & Junge) wäre das übrige Kind ein Junge.
Damit ist das übrige Kind nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 ebenfalls ein Junge.
Warum beträgt die Wahrscheinlichkeit nicht 50 % ?!!!! Häufig kann man es trotzdem einfach nicht glauben. Die Verwirrung stammt vermutlich von der kontraintuitiven Tatsache, dass eine zusätzliche Information (“Ein Kind ist ein Junge”) einen Einfluss auf Wahrscheinlichkeiten hat.
Das heißt aber nicht, dass die Realität durch diese Information rückwirkend geändert worden wäre. Es heißt lediglich, dass ein ursprünglich denkbares Szenario ausgeschlossen wurde.
Wüsste man zum Beispiel, dass das erste Kind ein Junge ist, so wäre die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auch das zweite Kind ein Junge ist tatsächlich einfach 50 %, denn es würden nun nur die Fälle 1 und 2 übrig bleiben.
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