Was ist der kürzeste Weg zur Öffnung der Cornflakes-Packung?
Die Cornflakes-Packung
Eine kleine Ameise entdeckt im Regal eine Packung voll leckerer Cornflakes und läuft zu einer der Ecken, die sich auf dem Regalboden befinden.
Leider befindet sich die Öffnung des quaderförmigen Kartons genau an der gegenüberliegenden Ecke.
Die Maße des quaderförmigen Kartons betragen 30 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} . Den Boden bildet ein Rechteck mit den Maßen 20 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} , das nicht von der Ameise betreten werden kann.
Wie lang ist der kürzeste Weg, den die Ameise zur Öffnung der Cornflakes-Packung nehmen kann?
Hinweis
Betrachte mögliche Quadernetze der Cornflakes-Verpackung und finde die kürzestmögliche Verbindungstecke zwischen Anfangs- und Endpunkt.
Lösung
Der kürzeste Weg für die Ameise zur gegenüberliegenden Ecke des Conflakes-Kartons beträgt\sqrt{(30 \text{ cm})^2+(30 \text{ cm})^2} \approx 42,4 \text{ cm}.
Lösungsweg: Wie im Hinweis angeführt, betrachten wir mögliche Quadernetze, um die Conflakes-Packung in der Ebene zu untersuchen.
Wir betrachten das folgende Netz:
Bemerkungen zur Skizze:
Die schaffierte Fläche markiert den Boden der Verpackung, welcher der Ameise für ihren Weg nicht zur Verfügung steht.
Außerdem befinden sich in der Abbildung drei Zielpunkte. Diese beschreiben beim erneuten Zusammensetzen des Netztes allerdings denselben Punkt. Nämlich genau den Ort der Öffnung, der dem Startpunkt der Ameise gegenüberliegt.
Wir berechnen nun die Länge der drei direkten Wege mit dem Satz des Pythagoras a^2+b^2=c^2.
Weg 1: Start – Ziel
Dieser Weg ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den beiden Kathetenlängen 30 \text{ cm} und 30 \text{ cm}.
Damit hat diese Strecke nach Pythagoras eine Länge von \sqrt{(30 \text{ cm})^2+(30 \text{ cm})^2} \approx 42,4 \text{ cm}.
Weg 2: Start – Ziel’
Dieser Weg ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den beiden Kathetenlängen 40 \text{ cm} und 20 \text{ cm}.
Damit hat diese Strecke eine Länge von \sqrt{(40 \text{ cm})^2+(20 \text{ cm})^2} \approx 44,7 \text{ cm} und ist damit über zwei Zentimeter länger als die vorige Strecke.
Weg 3: Start – Ziel’‘
Dieser Weg ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den beiden Kathetenlängen 50 \text{ cm} und 10 \text{ cm}.
Auch wenn der in der Skizze eingezeichnete Weg verboten ist, weil er über den Boden führt, gibt es aus Symmetriegründen einen analogen Weg, der die Ameise über den Deckel führt.
So oder so hat diese Strecke eine Länge von \sqrt{(50 \text{ cm})^2+(10 \text{ cm})^2} \approx 51,0 \text{ cm} und ist damit sogar noch deutlich länger als die vorigen beiden Strecken.
Schlussbemerkung:
Wir sehen, dass sich die Ameise auf dem Quadernetz in Summe immer um insgesamt 10 \text{ cm} + 20 \text{ cm} + 30 \text{ cm} = 60 \text{ cm} bewegen müsste, wenn sie nur horizontal und vertikal laufen könnte.
Die effizienteste Art dafür, diese 60 \text{ cm} zurückzulegen, entspricht genau Weg 1, also der Diagonale des Quadrates mit Seitenlänge 30 \text{ cm} . Damit kann es also auch keinen kürzeren Weg als diesen geben.
Schreibe einen Kommentar