Auf der Oberfläche eines Würfels sind zwei Diagonalen (rot gestrichelt) eingezeichnet. Diese Diagonalen treffen sich in einer Ecke des Würfels.
Natürlich bilden zwei sich schneidende Strecken immer auch einen bestimmten Winkel.
Unter welchem Winkel treffen die beiden Diagonalen der beiden Würfelseiten aufeinander?
Tipp
Verbinde die beiden losen Enden der Diagonalen zu einem Dreieck.
Beantworte dann die folgenden Fragen:
• Wie lang ist die ergänzte Verbindungsstrecke zwischen den losen Enden?
• Welche besondere Eigenschaft hat das resultierende Dreieck damit?
• Was folgt daraus für den gesuchten Winkel?
Lösung
Die beiden Diagonalen schneiden sich unter einem Winkel von 60°.
Für die Lösung dieser Aufgabe verwenden wir den obigen Tipp und beantworten die zugehörigen Fragen.
Wie lang ist die ergänzte Verbindungsstrecke zwischen den losen Enden?
Verbindet man die beiden losen Enden der Diagonalen, so entsteht ein Dreieck. Die ergänzte Verbindungsstrecke ist dabei ebenfalls die Diagonale einer Seitenfläche. (Siehe Bild unten.)
Das durch die Verbindung entstehende Dreieck sieht folgendermaßen aus:
Welche besondere Eigenschaft hat das resultierende Dreieck damit?
Insbesondere sind alle drei Seiten des resultierenden Dreiecks gleich lang. Das Dreieck ist also gleichseitig.
Was folgt daraus für den gesuchten Winkel?
In gleichseitigen Dreiecken sind einerseits alle drei Seiten gleich lang und andererseits alle drei Winkel gleich groß. Da die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer 180° beträgt, entfallen auf jeden der drei (gleich großen) Winkel jeweils 60°.
Einer dieser Winkel ist der anfangs gesuchte Winkel. Damit treffen sich die ursprünglichen beiden Diagonalen der Würfelseiten also in einem Winkel von 60°.
Wir haben dieses auf den ersten Blick kompliziert anmutende Rätsel also durch geschickte Betrachtung auf elementare, geometrische Tatsachen reduziert, welche man bereits in der 6. Klasse kennenlernt.
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