Johanna und Franziska sind beste Freundinnen und besuchen dieselbe Schule. Bislang allerdings ging Johanna immer in Franziskas Parallelklasse. Doch dieses Jahr wurde Franziska endlich einmal in Johannas Klasse eingeteilt.
In Franziskas und nun auch Johannas Klasse gehen dieses Schuljahr insgesamt 23 Schülerinnen und Schüler. Als Johanna während der Vorstellungsrunde auffällt, dass zwei Schüler am gleichen Tag Geburtstag haben, ist sie begeistert:
“Wie krass ist das denn? Es gibt 365 Tage im Jahr und ihr beide habt am gleichen Geburtstag!”
Franziska findet das weniger erstaunlich. Das liegt allerdings nicht daran, dass Franziska aus dem letzten Schuljahr bereits wusste, dass es “Geburtstagszwillinge” gibt, sondern daran, dass Franziska die beste Mathematikerin der Stufe ist.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit 23 Schülerinnen und Schülern mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, wenn wir davon ausgehen, dass ein Jahr immer 365 Tage hat und jeder Tag als Geburtstag gleich wahrscheinlich ist?
Schätze doch spaßeshalber zuerst, bevor du rechnest! (-;
Lösung
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, berechnen wir zuerst die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass niemand am gleichen Tag wie eine andere Person Geburtstag hat.
Die Wahrscheinlichkeit \bar{P}, dass jeder an einem anderen Tag Geburtstag hat, ist:
Die Rechnung entsteht so: Gehen wir die Klassenliste alphabetisch durch, dann hat die Person ganz oben für ihren Geburtstag die freie Auswahl aus allen 365 Jahrestagen, da sie ja die erste ist und noch kein Geburtstag vergeben wurde.
Die zweite Person hat nicht mehr die freie Auswahl, da nun ein Geburtstag bereits vergeben ist. Sie hat also nur noch noch 364 von 365 Tagen zur Verfügung.
So geht man die gesamte Klassenliste einmal durch. Für die 23. und somit letzte Person sind schon 22 Tage weg, also nur noch 343 von 365 übrig.
Hat man diese Wahrscheinlichkeit dafür, dass es keine Geburtstagszwillinge in der Klasse gibt berechnet, bekommt man die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pfür Geburtstagszwillinge als Gegenwahrscheinlichkeit geschenkt:
P=1-\bar{P}=1-49,27\% = 50,73\%
Franziska war also deshalb nicht verwundert, weil dieses Phänomen statistisch in jeder zweiten Klasse mit 23 Leuten auftritt. Auch die Sendung mit der Maus hat sich einmal mit dem Thema befasst.
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