Marie und Johanna gehen jedes Wochenende gemeinsam feiern. Regelmäßig führt sie ihr Weg dabei auch in ihre Lieblingsbar.
Die beiden haben das Ritual, eine Münze entscheiden zu lassen, wer die Getränke für diesen Abend bezahlt. Zeigt die Münze Kopf, so bezahlt Johanna, zeigt sie Zahl, so begleicht Marie die Rechnung.
Da sich die jeweiligen Summen auf lange Sicht bei einer fairen Münze statistisch ausgleichen, genießen die beiden den Nervenkitzel ihrer kleinen Wette.
Ist Johannas Münze womöglich gezinkt?
Doch in den letzten Wochen stellt Marie fest, dass sie deutlich häufiger bezahlt als Marie. Sie vermutet, dass Johanna schummelt und eine gezinkte Münzen wirft, um sich einen Vorteil zu verschaffen.
Da Marie ihre Freundin nicht direkt mit ihrem Verdacht konfrontieren möchte, überlegt sie sich eine Methode, wie sie mit Johannas (womöglich gezinkter) Münze trotzdem eine faire Entscheidung gewährleisten kann.
Was kann Johanna tun, um mit der möglicherweise gezinkten Münze eine 50/50-Chance zu simulieren?
Lösung
Die Münze wird nicht nur einmal, sondern zweimal hintereinander geworfen.
Dabei müssen Johanna und Marie jeweils eine Reihenfolge ansagen, in der Kopf und Zahl auftreten.
Beispielsweise bezahlt Johanna dann, wenn zuerst Kopf und danach Zahl auftritt und Marie dann, wenn zuerst Zahl und danach Kopf fällt.
Tritt bei beiden Würfen das gleiche Ergebnis auf (Kopf & Kopf oder Zahl & Zahl), wird die Münze erneut zweimal geworfen.
Warum ist diese Methodewirklich fair?
Sei p die (unbekannte) Wahrscheinlichkeit dafür, mit der besagten Münze Kopf zu werfen. Dann ist 1-p die Wahrscheinlichkeit, mit dieser Münze Zahl zu werfen.
Wirft man diese Münze zweimal hintereinander, so beeinflussen sich die beiden Münzwürfe natürlich nicht. Sie sind stochastisch unabhängig.
Beim zweimaligen Werfen können unter Beachtung der Reihenfolge vier verschiedene Resultate (Pfade) auftreten.
Die Wahrscheinlichkeiten eines Pfades erhält man durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades:
• P(\text{Kopf, Kopf}) = p \cdot p = p^2 • P(\text{Kopf, Zahl}) = p \cdot (1-p) • P(\text{Zahl, Kopf}) = (1-p) \cdot p • P(\text{Zahl, Zahl}) = (1-p) \cdot (1-p) = (1-p)^2
Insbesondere ist die Wahrscheinlichkeit dafür, erst Kopf und dann Zahl zu erhalten genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, erst Zahl und dann Kopf zu erhalten (nämlich jeweils p \cdot (1-p) ).
Die Methode ist also fair.
Wie groß die Wahrscheinlichkeit p \cdot (1-p) ist, lässt sich allerdings nicht bestimmen.
Übrigens: Je weiter die Wahrscheinlichkeit p von 0,5 entfernt ist (also je stärker die Münze gezinkt ist), desto öfter müssen die beiden die Münze zweimal werfen, bis Kopf und Zahl in einem “Zweierwurf” vorkommen.
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