Die Firma Telekabel GmbH hat sich das Ziel gesetzt, die längste überirdische Telefonleitung der Welt zu verlegen.
Dafür nehmen wir an, die Erde wäre eine perfekte Kugel und habe einen Umfang von 40.000 km. Die Telefonleitung soll dabei stets in einer Höhe von 5m über dem Erdboden verlaufen.
Der neu eingestellte Ingenieur Tüftel kann sich jedoch mit der Höhe nicht ganz anfreunden. Er gibt zu bedenken, dass eine Höhe von 5 m zu niedrig wäre und befürchtet zahlreiche Beschädigungen durch Unfälle und Unachtsamkeiten. Um sicherzugehen, schlägt er eine Höhe von 6 Metern vor.
Doch vor allem seine Kolleginnen und Kollegen aus der Finanzabteilung kritisieren seinen Vorschlag mit der Anmerkung, dass jeder Meter des zu verlegenden Kabels 20 Euro koste und das Kabel schließlich einmal um die ganze Welt verlaufen solle.
Tüftel erwidert, er würde die zusätzlichen Materialkosten notfalls von seinem eigenen Gehalt zahlen.
Ist Tüftels Angebot mit seinem Gehalt irgendwie zu stemmen oder übernimmt er sich damit finanziell?
Lösung
Dazu berechnen wir zunächst einmal, mit welchen Kosten der ursprüngliche Plan der Telekabel GmbH zu Buch schlagen würde. Dafür betrachten wir beispielsweise den Äquatorkreis.
Wir berechnen aus dem Umfang zuerst den Erdradius. Da wir es beim Äquator mit einem Kreis zu tun haben, gilt für den Umfang U=2 \cdot \pi \cdot r.
Damit haben wir alles beisammen, um genau zu berechnen, wie teuer Tüftels Vorschlag für ihn werden wird. Dazu benötigen wir im Übrigen die Gesamtlänge des Kabels überhaupt nicht. Es genügt nämlich folgende Betrachtung, bei der r der ursprünglich geplante Radius 5m über dem Erdboden ist:
Die Länge des Kabels für eine Höhe von 6m entspricht natürlich der Länge des Kabels in 5m Höhe plus die Länge, die durch Tüftels Vorschlag hinzukommt. Das Kabel wird also lediglich 2\pi Meter länger. Bei einem Preis pro Meter von 20€ entspricht das gerade einmal rund 125€.
In der Aufgabenstellung fehlt die Angabe, dass er das Kabel einen Meter höher hängen möchte. Ist natürlich aber auch problemlos mit einer Variable für die Erhöhung zu lösen. (40πx€)
woher stammen denn deine Kilometer? Wir erhöhen doch den Radius um einen Meter. Dies hat eine Erhöhung des Umfangs um 2*pi*1 Meter zur Folge (siehe Rechnung).
Es wirkt natürlich auf den ersten Blick erstaunlich wenig, aber auf den zweiten Blick erhöhen wir den Radius auch nur um etwa ein Sechsmillionstel (Erdradius etwa 6370 km).
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