Bäcker Goldmüller hält nichts von neumodischer Technik. Deshalb hat er sich nie eine Digitalwaage angeschafft. Wozu auch, wenn seine Balkenwaage doch noch tadellos funktioniert? Mit inzwischen 79 Jahren backt er sein Brot ohnehin nur noch hobbymäßig.
Doch auch dafür muss er regelmäßig Mehl abwiegen. Dabei genügen ihm ganze Kilogramm.
Wie viele Gewichte braucht Bäcker Goldmüller mindestens, um alle (ganzzahligen) Mehlmengen von 1 kg bis 13 kg abwiegen zu können?
Lösung
Bäcker Goldmüller benötigt zum Abwiegen aller ganzen Kilogramm Mehl von 1 kg bis 13 kg drei Gewichte. Diese haben die Massen 1 kg, 3 kg und 9 kg.
Wir begründen zunächst, dass sich damit tatsächlich alle ganzzahligen Massen abwiegen lassen, bevor wir uns überlegen, warum es mit weniger als drei Gewichten nicht funktionieren kann.
Warum funktioniert das Abwiegen mit diesen drei Gewichten? Tatsächlich funktioniert das Abwiegen mit diesen drei Gewichten nur, wenn man beide Seiten der Waage bestückt.
Jede ganzzahlige Masse an Mehl (grau hinterlegt) lässt sich ausbalancieren, indem jedes der drei Gewichte (grün hinterlegt) höchstens einmal verwendet wird:
• 1 kg = 1 kg • 2 kg + 1 kg = 3 kg • 3 kg = 3 kg • 4 kg = 3 kg + 1 kg • 5 kg + 3 kg + 1 kg = 9 kg • 6 kg + 3 kg = 9 kg • 7 kg + 3 kg = 9 kg + 1 kg • 8 kg + 1 kg = 9 kg • 9 kg = 9 kg • 10 kg = 9 kg + 1 kg • 11 kg + 1 kg = 9 kg + 3 kg • 12 kg = 9 kg + 3 kg • 13 kg = 9 kg + 3 kg + 1 kg
Warum kann es mit weniger als drei Gewichten nicht funktionieren?
1) Mit nur einem Gewicht Mit nur einem Gewicht funktioniert das Abwiegen offensichtlich nicht. Damit lässt sich nur Mehl mit der gleichen Masse wie das Gewicht abwiegen.
2) Mit zwei Gewichten Um 1 kg abzuwiegen, benötigt man entweder ein Gewicht von 1 kg (a) oder zwei Gewichte mit einer Differenz von 1 kg (b).
2 a): Entscheidet man sich für ein Gewicht von 1 kg, braucht es für das Abwiegen von 2 kg entweder ein weiteres Gewicht von 1 kg oder ein Gewicht von 2 kg. Mit beiden Wahlen lassen sich Massen ab 4 kg nicht mehr abwiegen.
2 b): Entscheidet man sich für zwei Gewichte mit einem Massenunterschied von 1 kg, so kann man mit ihnen keine geraden Zahlen bilden, da eines der beiden Gewichte gerade und das andere Gewicht ungerade sein muss.
Man benötigt also tatsächlich mindestens drei Gewichte.
1. 1kg = 1kg Mehl Wir haben 1 kg Mehl
2. 2KG=Wir haben plus 2kh mehl=3kg
3. 4kg macht 8 kg Mehl dazu, wir haben 11kg
4 nochlals step 2 und wir haben 13 kg
Ich bin mir leider nicht ganz sicher, wie ich Ihren Kommentar zu verstehen habe. Ich gehe davon aus, dass sie das bereits abgewogene Mehl bei Seite legen und später wieder verwenden möchten, sei es als zusätzliches Gewicht zum Wiegen oder als Ergänzung zu einer abgewogenen Menge.
Die Aufgabe zielt jedoch darauf ab, jede (ganzzahlige) Masse Mehl auf einmal abzuwiegen.
Liebe Grüße
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