Ein Geschäftsreisender namens Max steht am Flughafen und wartet auf seinen Anschlussflug. Bis zum Boarding hat er noch ein paar Stunden Zeit und beschließt, sich ein wenig im Flughafen umzusehen.
Dabei entdeckt er eine Rolltreppe, die zur oberen Etage des Flughafens führt, in der es scheinbar einige interessante Läden zu erkunden gibt. Neugierig beschließt er, die Rolltreppe hinaufzusteigen.
Nach 60 Schritten erreicht er die obere Etage. Dort sieht er sich in den Läden um, besucht ein Café und beobachtet das Treiben am Flughafen von oben. Nach einer Weile beschließt Max, zurück zu seinem Gate zu gehen, um sich auf seinen Anschlussflug vorzubereiten.
Um den Donut wieder zu verbrennen, den er zum Kaffee gegessen hatte, beschließt Max, die Rolltreppe entgegen ihrer Fahrtrichtung hinunterzusteigen. Dabei benötigt er nun 90 Schritte, bevor er unten ankommt.
Wie viele Schritte würde Max benötigen, wenn die Rolltreppe stehen bleibt?
Lösung
Auf der stehengebliebenen Rolltreppe würde Max 72 Schritte benötigen.
Die erste Intuition wird bei den meisten wohl gewesen sein, dass Max 75 Schritte benötigen müsste. Immerhin handelt es sich dabei genau um die Mitte zwischen 60 und 90.
Sehen wir uns den Lösungsweg einmal an:
Vorüberlegung:
Die Rolltreppe fährt in einer gleichbleibenden Geschwindigkeit und entspricht einer gewissen Anzahl an Stufen, die sie pro Sekunde nach oben fährt.
Steigt Max die Rolltreppe in seiner “Steiggeschwindigkeit” die Treppen hinauf, so addieren sich seine eigene Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit der Rolltreppe.
Steigt er die Treppe (in der gleichen Steiggeschwindigkeit) hinab, so müssen wir die Rolltreppengeschwindigkeit davon abziehen.
Max’ Geschwindigkeit muss also definitiv größer sein als die der Rolltreppe, da er ansonsten niemals ankommen würde.
Die Rechnung:
In der Zeit, die Max für eine Stufe benötigt, fahre die Rolltreppe um x Stufen weiter. Gesucht ist die Gesamthöhe der Rolltreppe, ausgedrückt in Stufen.
Aufweg: \text{Gesamthöhe in Stufen} = 60 + 60\cdot x
Abweg: \text{Gesamthöhe in Stufen} = 90 \; – \; 90\cdot x
Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen und Umformen liefert
Für jeden Schritt, den Max tätigt, bewegt sich die Rolltreppe also um eine fünftel Stufe. Die gesuchte Höhe der Rolltreppe (ausgedrückt in Stufen) erhalten wir, indem wir x=\frac{1}{5} beispielsweise in die Gleichung für den Aufweg einsetzt. Dann ist
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