Eine Schlingrose rankt sich um eine antike Säule nach oben. Dabei umschlingt die Rose die Säule genau 3-mal (von oben betrachtet) im Uhrzeigersinn, ehe sie oben angelangt.
Da die Rahmenbedingungen für Schlingpflanzen an dieser Säule recht angenehm zu sein scheinen, gesellt sich ein Kletterefeu zur Schlingrose hinzu. Der Efeu beginnt genau dort die Säule zu erklimmen, wo einst auch die Rose begonnen hat.
Allerdings wächst der Efeu entgegen des Uhrzeigersinns und benötigt 5 komplette Windungen, bis er die gesamte Säule erklommen hat.
Wie oft berühren sich die Schlingrose und der Kletterefeu?
Lösung
Die Schlingrose und der Kletterefeu berühren sich insgesamt 9-mal (inklusive Anfangs- und Endpunkt).
Zunächst können wir das Rätsel vereinfachen.
1. Vereinfachung:
Tatsächlich spielt die vertikale Komponente bei diesem Rätsel keine Rolle. Stattdessen kann man sich vorstellen, dass sich beide Schlingpflanzen entgegengesetzt um einen flachen Kreis bewegen.
Die Rose zieht also drei Kreise (im Uhrezeigersinn), der Efeu zieht fünf Kreise (gegen den Uhrzeigersinn). Anfangs- und Endpunkte stimmen überein.
2. Vereinfachung:
Außerdem können wir annehmen, dass beide Pflanzen die gleiche Zeit benötigen, um die Säule zu erklimmen, da es keinen Einfluss auf die Anzahl der Schnittpunkte hat.
Lösungsweg:
Die Rose hat eine gewisse Winkelgeschwindigkeit 3\omega und der Efeu eine Winkelgeschwindigkeit 5\omega, wobei \omega eine beliebige Winkelgeschwindigkeit darstellt. Hier spielt lediglich das Geschwindigkeitsverhältnis eine Rolle.
Durch das Verhältnis von 3:5 treffen sich die beiden Pflanzen (in unserem Modell) nach \frac{3}{3+5}=\frac{3}{8} des Kreises (im Uhrzeigersinn).
Das entspricht einem Winkel von \frac{3}{8}\cdot 360° = 135° im Uhrzeigersinn vom Startpunkt aus.
Nach weiteren 135° befindet sich der nächste Schnittpunkt usw.
Insgesamt windet sich die Rose dreimal um die Säule. Das entspricht einem Winkel von 3\cdot 360° = 1080°.
Zusätzlich zum Start erhalten wir also noch \frac{1080°}{135°}=8 weitere Schnittpunkte.
Insgesamt berühren sich die Schlingrose und der Kletterefeu damit 9-mal (inklusive Anfangs- und Endpunkt).
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