Eine kleine Schnecke befindet sich auf dem Boden eines alten, inzwischen ausgetrockneten Brunnens. Es ist bekannt, dass der Brunnen insgesamt 10 Meter tief ist.
Die kleine Schnecke möchte den Brunnen nun gerne wieder verlassen und beginnt also, an der Innenseite des Brunnens nach oben zu kriechen. Leider ist so eine kleine Schnecke nicht sonderlich schnell.
Die Schnecke legt jede Stunde eine Distanz von 3 Metern nach oben zurück.
Allerdings ist sie dann bereits so erschöpft, dass sie sich eine Stunde lang ausruhen muss, um ihre Kräfte zu regenerieren. In dieser Stunde rutscht die Schnecke unglücklicherweise wieder um 2 Meter nach unten.
Dieses Spiel wiederholt sich so lange, bis die Schnecke irgendwann oben angekommen ist.
Wie lange braucht die Schnecke, um aus dem Brunnen zu gelangen?
Lösung
Die Schnecke benötigt insgesamt 15 Stunden, um oben am Brunnenrand anzukommen.
Eine häufig genannte falsche Antwort: Eine häufig genannte, aber falsche Antwort auf diese Frage lautet “20 Stunden”.
Der Fehler, der hier gemacht wird, beruht auf der prinzipiell eigentlich richtigen Annahme, dass die Schnecke alle 2 Stunden einen Netto-Fortschritt von 1 Meter schafft.
Aber was ist an dieser Antwort dann verkehrt?
Der Lösungsweg: Da die Schnecke immer bereits 3 Meter zurückgelegt hat, bevor sie wieder nach unten rutscht und den rettenden Brunnenrand garantiert während einer aktiven Phase erreicht, “spart” sie sich einmal das Ausruhen und Herunterrutschen.
Wir verwenden die Vereinfachung “1 Meter alle 2 Stunden” also sicherheitshalber nur in dem Bereich, in dem die Schnecke ihr Ziel garantiert noch nicht erreicht haben kann.
In unserem Fall ist das bis zu einer Höhe von 7 Metern am Ende eines Zyklus, denn dann hatte sie vor dem Ausruhen eine Höhe von 9 Metern erreicht.
Dieses Szenario tritt ein nach 7 Zyklen á 2 Stunden, sprich 14 Stunden.
Nach diesem 7. Zyklus (in einer Höhe von 7 Metern) kriecht sie in der folgenden Stunde um weitere 3 Meter nach oben und erreicht damit den 10 Meter hoch gelegenen Brunnenrand.
Insgesamt kommen wir also auf 15 Stunden.
Brute Force: Wer den Lösungsweg so noch nicht ganz nachvollziehen kann, kann hier noch einen Blick auf die jeweiligen Zwischenstationen werfen. Angegeben ist jeweils die Höhe nach einer gewissen Stunde.
Die Schnecke legt jede Stunde 3 Meter nach oben zurück, verliert aber in der folgenden Stunde wieder 2 Meter. Daher gewinnt sie netto nur 1 Meter pro Stunde.
Da der Brunnen insgesamt 10 Meter tief ist, braucht die Schnecke also 10 Stunden, um aus dem Brunnen zu kriechen.
Berechnung:
Stunde 1: Schnecke kriecht 3 Meter nach oben, verliert aber 2 Meter und ist somit netto nur 1 Meter höher.
Stunde 2: Die Schnecke ruht sich aus und rutscht 2 Meter nach unten, sodass sie wieder am Ausgangspunkt ist.
Stunde 3: Schnecke kriecht erneut 3 Meter nach oben, verliert aber 2 Meter und ist somit netto 2 Meter höher als zu Beginn der Stunde.
Stunde 4: Die Schnecke ruht sich aus und rutscht 2 Meter nach unten, sodass sie insgesamt 1 Meter höher ist als zu Beginn der Stunde.
Stunde 5: Schnecke kriecht wieder 3 Meter nach oben, verliert aber wieder 2 Meter und ist netto nur 2 Meter höher als zu Beginn der Stunde.
Stunde 6: Die Schnecke ruht sich aus und rutscht 2 Meter nach unten, sodass sie insgesamt 1 Meter höher ist als zu Beginn der Stunde.
Stunde 7: Schnecke kriecht wieder 3 Meter nach oben, verliert aber wieder 2 Meter und ist netto nur 2 Meter höher als zu Beginn der Stunde.
Stunde 8: Die Schnecke ruht sich aus und rutscht 2 Meter nach unten, sodass sie insgesamt 1 Meter höher ist als zu Beginn der Stunde.
Stunde 9: Schnecke kriecht wieder 3 Meter nach oben, verliert aber wieder 2 Meter und ist netto nur 2 Meter höher als zu Beginn der Stunde.
Stunde 10: Die Schnecke ruht sich aus und kriecht dann die letzten verbleibenden 3 Meter nach oben, um den Brunnen zu verlassen.
gemäß Aufgabenstellung kriecht die Schnecke in der ersten Stunde 3 Meter nach oben. In der zweiten Stunde rutscht sie beim Ausruhen um 2 Meter nach unten.
Also: In einer aktiven Phase kriecht die Schnecke netto 3 Meter nach oben. In einer passiven Phase verliert sie netto 2 Meter.
In deiner Argumentation würde beides innerhalb einer “aktiven” Stunde ablaufen. Wenn wir uns deine ersten beiden Stunden ansehen, wäre die Schnecke danach auf einer rechnerischen Höhe von -1 Meter (also in der Realität, wie du schreibst, am Ausgangspunkt, nämlich dem Boden des Brunnens). Von nun an würde sich in deiner Interpretation jedoch alles wiederholen. Damit würde die Schnecke den Brunnen also niemals verlassen können.
Hi Alex, coole Aufgabe. Mein Hinweis ist eher ein Verständnisthema.
Der Brunnen ist 10 m hoch und in der fünfzehnten Stunde schafft unsere Schnecke auch die 10 m. Nur wäre Sie in dem Fall noch an der senkrechten Wand und könnte nicht auf den Brunnenring gelangen. Somit könnte man aus meiner Sicht auch innerhalb der siebzehnten Stunde als korrekt betrachten. LG und tolle Seite 🙂
da hast du Recht, das könnte man durchaus auch so betrachten. Aber wenn man es bis zu diesem Punkt durchdrungen hat, kann man das Rätsel getrost als gelöst ansehen. (:
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