Die (Gesamt-)Energie E_\text{ges} (bestehend aus Bewegungsenergie E_\text{kin} und Höhenenergie E_\text{pot}) sowie der Impuls p eines Körpers bleiben immer erhalten.

Die entsprechenden Formeln für einen Ball der Masse m lauten
\quad E_\text{ges}=E_\text{kin}+E_\text{pot}=\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2 + m\cdot g \cdot h
und
\quad p=m\cdot v .

Der Tennisball springt beim Doppelball-Experiment auf das 9-Fache seiner Ausgangshöhe.


Erklärung:
Die beiden Bälle treffen gleichzeitig und mit derselben Geschwindigkeit -v auf. (Die Geschwindigkeit hängt nicht von der Masse des fallenden Gegenstands ab!)

Sehen wir uns den Moment des Aufpralls etwas genauer an:

Der Basketball stößt auf den Boden und ändert dadurch die Richtung seiner Geschwindigkeit. Er bewegt sich nach diesem Stoß gleich schnell, jedoch nun nach oben statt nach unten. Er hat also nach dem Stoß mit dem Boden die Geschwindigkeit +v.

Wir können uns nun gedanklich in den Basketball hineinversetzen (rechtes Bild). Stellen wir uns vor, der Basketball bleibt in Ruhe.

Dann entfernt sich der Boden mit der Geschwindigkeit -v (nach unten) und der Tennisball nähert sich (von oben) mit einer Geschwindigkeit von -2v nach unten.

Der Geschwindigkeitsunterschied der beiden Bälle beträgt also
\quad \Delta v = \textcolor{red}{v}-(\textcolor{green}{-v})=v+v=2v.

An der physikalischen Realität ändert dieser Perspektivwechsel natürlich nichts!

Unmittelbar danach stößt der sich nun nach oben bewegende Basketball von unten auf den sich noch nach unten bewegenden Tennisball über ihm.

An dieser Stelle kommt nun zum Tragen, dass der Basketball sehr viel schwerer ist als der leichte Tennisball. Das hat zur Folge, dass der Basketball bei dieser Kollision (fast) nichts von seiner Geschwindigkeit verliert und der Tennisball am Basketball abprallt wie zuvor der Basketball am Boden.



Betrachten wir den Vorgang also weiterhin aus Sicht des ruhenden Basketballs (links), so entfernt sich der Boden weiterhin mit der Geschwindigkeit -v, während sich der Tennisball nach dem Stoß mit dem Basketball mit einer Geschwindigkeit 2v, d. h. nach oben, entfernt.

Übersetzen wir diesen Sachverhalt wieder in ein System, in dem der Boden als ruhend betrachtet wird (rechts), so bewegt sich der Basketball mit einer Geschwindigkeit von v und der Tennisball mit einer Geschwindigkeit von 3v nach oben.


Die resultierende Höhe:

Wir müssen abschließend berechnen, auf welche Höhe h_\text{max} der Tennisball mit dieser Geschwindigkeit steigt.

Die maximale Höhe ist genau dann erreicht, wenn die gesamte Bewegungsenergie des Tennisballs in Höhenenergie umgewandelt wurde.

Kurz nach dem Stoß besitzt der Tennisball (fast) nur Bewegunsenergie. Die Bewegungsenergie des Tennisballs am Stoßpunkt beträgt E_\text{kin}=\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2.

An seinem höchsten Punkt besitzt der Tennisball hingegen nur noch Höhenenergie. Diese beträgt dann E_\text{pot}=m\cdot g \cdot h .

Aufgrund der Energieerhaltung muss die Bewegungsenergie vollständig in Höhenenergie umgewandelt werden. Wir setzen also gleich und erhalten

\begin{aligned} \quad E_\text{kin} &= E_\text{pot}\\ \frac{1}{2}\cdot \cancel{m} \cdot v^2 &= \cancel{m} \cdot g \cdot h_\text{max}\\ h_\text{max} &= \frac{v^2}{2g}. \end{aligned}

Die Maximalhöhe h_\text{max}(v) hängt also quadratisch von der Geschwindigkeit v nach dem Stoß ab.

Da sich der Tennisball durch den Stoß mit dem Basketball nun mit dem 3-Fachen seiner Ausgangsgeschwindigkeit nach oben bewegt, erhalten wir eine Maximalhöhe von

\quad h_\text{max}(\textcolor{blue}{3}v)=\frac{(\textcolor{blue}{3}v)^2}{2g}=\frac{\textcolor{blue}{3^2}\cdot v^2}{2g}=\textcolor{blue}{9}\cdot \frac{v^2}{2g}=\textcolor{blue}{9}\cdot h_\text{max}(v),

was tatsächlich dem 9-Fachen der Ausgangshöhe entspricht, auf welche der Tennisball mit einer Geschwindigkeit von v wieder zurückgekehrt wäre.