Ein Turm und ein Läufer werden zufällig auf ein gemeinsames Schachbrett ( 8 \times 8 Felder) gestellt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine der beiden Figuren die andere schlagen kann?
Zur Erinnerung:
Ein Turm kann sich in einem Zug beliebig weit entweder vertikal oder horizontal bewegen (bis er auf ein Hindernis trifft).
Ganz ähnlich kann sich ein Läufer in einem Zug beliebig weit diagonal bewegen. Er bleibt also insbesondere stets auf gleichfarbigen Feldern.
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine der beiden Figuren die andere schlagen kann, beträgt \frac{1456}{4032} \approx 36,1 \% .
Wie so häufig berechnen wir dazu den Anteil der sogenannten günstigen Fälle an allen möglichen Fällen. Die günstigen Fälle beschreiben diejenigen Konstellationen, bei denen eine Figur die andere schlagen kann.
Wie viele mögliche Fälle gibt es?
Ein Schachbrett hat 8 \cdot 8 = 64 Felder. Die erste Figur hat also 64 Möglichkeiten. Die zweite Figur hat dann nur noch 63 freie Felder zur Verfügung.
Insgesamt gibt es also 64 \cdot 63 = 4032 Möglichkeiten, wie die beiden Figuren positioniert werden können.
Wie viele günstige Fälle gibt es?
Dazu betrachten wir einerseits die Konstellationen, bei denen der Turm den Läufer schlägt und andererseits diejenigen, bei denen der Läufer den Turm schlagen kann.
1. Turm schlägt Läufer:
Auf einem leeren Schachfeld bedroht der Turm immer die gesamte Zeile und die gesamte Spalte, in der er steht. Das sind abzüglich seines eigenen Feldes also 7 + 7 = 14 Felder (7 vertikal und 7 horizontal).
Für jedes der insgesamt 64 möglichen Turm-Felder gibt es 14 Felder, auf denen der Springer vom Turm geschlagen werden könnte. Das ergibt also 64 \cdot 14 = 896 Fälle.
2. Läufer schlägt Turm Der umgekehrte Fall gestaltet sich ein wenig schwieriger, da die Anzahl der vom Läufer bedrohten Felder von dessen Position abhängt. Je zentraler der Läufer steht, desto mehr Felder bedroht er:
Im folgenden Bild wird für jedes Feld, auf dem der Läufer stehen kann, die Anzahl der dadurch bedrohten Felder notiert.
Auf den roten Feldern bedroht der Läufer jeweils 13 andere Felder, auf den orangen 11, auf den gelben 9 und auf den grünen Feldern 7.
Damit gibt es 4 ⋅ 13 + 12 ⋅ 11 + 20 ⋅ 9 + 28 ⋅ 7 = 560 Konstellationen, in denen der Läufer den Turm schlagen könnte.
Also insgesamt:
Da sich der Turm nur vertikal oder horizontal fortbewegen kann, der Läufer hingegen nur diagonal, können sich nicht beide Figuren gleichzeitig bedrohen.
Also können wir die Anzahl der Fälle, in denen der Turm den Läufer schlägt zu der Anzahl der Fälle addieren, in denen der Läufer den Turm schlägt, da es sich um verschiedene Fälle handelt und dadurch kein Fall doppelt gezählt wird.
Damit gibt es 896 + 560 = 1456 verschiedene Fälle, in denen eine Figur die andere schlagen kann.
Die Wahrscheinlichkeit ist also der Anteil dieser Fälle an allen möglichen Fällen, sprich \frac{1456}{4032} \approx 36,1 \% .
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