Charlotte geht mit ihrer Tochter Mia auf den Spielplatz. Während die kleine Mia mit den anderen Kindern auf dem Spielplatz spielt, setzt sich Charlotte auf die Parkbank und kommt mit einer anderen Mutter ins Gespräch.
Dabei unterhalten sich die beiden unter anderem auch über ihre Familien und Kinder. Es ist durchgeklungen, dass die Frau wohl mehrere Kinder zu haben scheint.
Jetzt möchte Charlotte es genau wissen und fragt die Frau, wie viele Kinder sie denn nun habe. Die Frau macht sich einen Spaß daraus und antwortet in einem Rätsel:
“Ich habe mehrere Kinder, sowohl Jungen als auch Mädchen. Jedes Mädchen hat genauso viele Brüder wie Schwestern. Jeder Junge hat allerdings nur halb so viele Brüder wie Schwestern.”
Wie viele Kinder hat die Frau?
Lösung
Die Frau hat insgesamt sieben Kinder. Vier davon sind Mädchen, drei von ihnen sind Jungs.
Testen wir zunächst, ob diese Konstellation auch wirklich zu den Aussagen der Frau passt:
• Jede ihrer Töchter hätte drei Schwestern und drei Brüder, also gleich viele. ✓
• Jeder ihrer Söhne hätte zwei Brüder und vier Schwestern, also doppelt so viele Schwestern wie Brüder. ✓
Da die in dieser Frage vorkommenden Zahlen relativ klein sind, hätte man auf diese Lösung durchaus auch durch einfaches Ausprobieren kommen können.
Wir können dem Problem aber natürlich auch rechnerisch begegnen. Dies wollen wir nun abschließend noch tun. Wir bezeichnen dabei mit t die Anzahl der Töchter und mit s die Anzahl der Söhne.
Aus Sicht einer Tochter: Wenn die Frau also t Töchter und s Söhne hat, dann hat jede dieser Töchter t-1 Schwestern und s Brüder.
Wenn jede Tochter also gleich viele Schwestern wie Brüder haben soll, dann muss gelten t-1\overset{!}{=}s.
Aus Sicht eines Sohnes: Jeder Sohn hat s-1 Brüder und t Schwestern.
Wenn jeder Sohn also doppelt so viele Schwestern wie Brüder haben soll, dann muss nun zusätzlich gelten t\overset{!}{=}2\cdot(s-1).
Zusammen: Ersetzen wir nun das t in der oberen Gleichung mit Hilfe der unteren Gleichung, dann erhalten wir
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