Eine teilweise gefüllte Flasche richtig und falsch herum hingestellt
Wie voll ist die Flasche?
Eine 21 Zentimeter hohe Flasche ist mit einer unbekannten Menge an Wasser gefüllt. Wir wollen herausfinden, wie voll die Flasche ist.
Stellt man die Flasche richtig herum auf einen Tisch, so misst man eine Füllhöhe von 12 Zentimetern.
Dreht man dieselbe Flasche um und stellt sie auf den Kopf, so beträgt die Füllhöhe 15 Zentimeter.
Welcher Anteil der Flasche ist mit Wasser gefüllt?
Hinweis: Wir gehen davon aus, dass der untere Teil der Flasche zylinderförmig ist.
Lösung
Die Flasche ist zu 2/3 mit Wasser gefüllt.
Was auf den ersten Blick zunächst einmal unlösbar zu sein scheint, lässt sich tatsächlich lösen! Doch wie bestimmt man den Füllstand der Flasche?
Wie es nicht funktioniert
Da wir weder den Radius des zylinderförmigen Teils des Flasche kennen, noch wissen, wie die genaue Form im oberen Teil der Flasche aussieht, können wir das Volumen der Flasche und des Wassers nicht herkömmlich berechnen.
Wie es funktioniert
Stattdessen verwenden wir die Erkenntnis, dass das Luftvolumen in beiden Flaschen gleich sein muss!
Wenn die Flasche auf dem Kopf steht, befindet sich der Luftanteil vollständig im zylinderförmigen Teil der Flasche. Die Höhe dieses “Luftzylinders” beträgt 21 \text{ cm} \; – \; 15 \text{ cm} = 6 \text{ cm} .
Wir denken uns nun eine neue Flasche, die das gleiche Gesamtvolumen hat wie unsere ursprüngliche Flasche, jedoch komplett zylinderförmig ist (mit dem gleichem Radius wie der untere Teil der Ursprungsflasche). Also quasi eine Dose.
In dieser neuen, komplett zylinderförmigen Flasche muss also genau Platz sein für die 12 \text{ cm} Wasser und die 6 \text{ cm} Luft! Insgesamt ist unsere neue Flasche also ein 18 \text{ cm} hoher Zylinder.
Damit ist der mit Wasser gefüllte Anteil also tatsächlich \frac{12}{18}=\frac{2}{3} .
(Der Volumenanteil des Wassers in einem Zylinder entspricht genau dem Anteil der Höhe des Wassers im Zylinder, da ein Zylinder überall gleich breit ist.)
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