Zahlenreihen Fortsetzen (*)

Wie muss die Zahlenreihe fortgesetzt werden?

Zahlenreihen Fortsetzen

Bei Zahlenreihen (streng genommen eigentlich Zahlenfolgen) handelt es sich um Aneinanderreihungen bestimmter ganzer Zahlen, die einem gewissen logischen Muster folgen. Ziel einer solchen Aufgabe ist es, die Zahlenreihe fortzusetzen.

Dazu muss die vorgegebene Zahlenreihe zunächst genau analysiert werden, um herauszufinden, wie benachbarte Glieder miteinander in Beziehung stehen. Dabei sind die Zahlenreihen normalerweise lang genug, sodass das Muster eindeutig erkennbar ist.

Kannst du die Zahlenreihen fortsetzen?

1, 2, 6, 24, … ?

Lösung

1 \overset{\cdot 2}{\longrightarrow} 2 \overset{\cdot 3}{\longrightarrow} 6 \overset{\cdot 4} {\longrightarrow} 24 \overset{\cdot 5}{\longrightarrow} 120

Die jeweils nächste Zahl der Zahlenreihe erhält man durch Multiplikation mit einer Zahl, die jeweils um eins anwächst.

Anmerkung:
Das entspricht genau den Fakultäten.
Das erste Folgenglied ist

1! = 1

Das zweite Folgenglied ist

2! = 1 \cdot 2 = 2

Das dritte Folgenglied ist

3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6

Das vierte Folgenglied ist

4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24

usw.
Das n-te Folgenglied ist

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n-1) \cdot n

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … ?

Lösung

1 \overset{\cdot 2}{\longrightarrow} 2 \overset{\cdot 3}{\longrightarrow} 6 \overset{\cdot 4} {\longrightarrow} 24 \overset{\cdot 5}{\longrightarrow} 120

Das ist die sogenannte Fibonacci-Folge. Die nächste Zahl ergibt sich immer als Summer der beiden vorherigen Zahlen.

Anmerkung:
Vielleicht hast du schon einmal etwas vom sogenannten Goldenen Schnitt

\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618 \dots

gehört, der in Natur und Kunst allgegenwärtig ist. Teilt man eine Zahl der Fibonacci-Folge durch ihren Vorgänger, z. B.

\frac{13}{8}

, so erhält man eine Näherung für den goldenen Schnitt. Die Näherung wird immer besser, je “weiter hinten” man diesen Quotienten bildet. Also ist

\frac{21}{13}

eine bessere Näherung als

3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6

121, 11, 16, 4, 9, … ?

Lösung

1 \overset{\cdot 2}{\longrightarrow} 2 \overset{\cdot 3}{\longrightarrow} 6 \overset{\cdot 4} {\longrightarrow} 24 \overset{\cdot 5}{\longrightarrow} 120

Diese Zahlenreihe ist etwas kniffliger. Dem geübten Auge fällt jedoch sofort der Zusammenhang zwischen 121 und 11 auf. 121 ist nämlich eine Quadratzahl mit der Quadratwurzel 11. Der einfachste Zusammenhang zwischen 11 und 16 ist “+5”. 16 allerdings ist wieder eine Quadratzahl mit der Quadratwurzel 4. Zwischen 4 und 9 herrscht wieder der Zusammenhang “+5”. Da 9 wieder eine Quadratzahl ist, wird die nächste Zahl in der Folge ihre Quadratwurzel 3 sein.

Man muss also abwechselnd die Quadratwurzel ziehen und 5 addieren.

Hinweis:
Diese Zahlenreihe lässt sich im Gegensatz zu den beiden Zahlenreihen oben nicht beliebig weiter fortsetzen. Warum?